----探求椭圆离心率

背景介绍

传统的教学中，教学目标是“掌握椭圆的几何性质”教师围绕教学目标，直接给出性质，学生在教师的引导下，理解椭圆的几何性质，本人借签“问题连续体理论”，着力体现如下设计思想：学生通过动手实验，自己探究解决问题的方法，通过创设问题情景，让学生主动、积极地参与知识的形成过程，体验数学概念的发生、完善过程，展现研究问题的基本程序：实验→归纳→猜想→证明，从而提高学生数学探究能力和创新思维能力。

课堂实录：

教学目标：

1、理解并掌握椭圆的几何性质。

2、初步运用椭圆的几何性质，会解决简单问题。

3、帮助学生体会怎样用代数方法研究曲线性质，培养动手实验的能力，合作的精神，在探索的过程中体验成功。

难点：椭圆的离心率

教学过程：

在多媒体课件的帮助下，学生很快获得椭圆的如下性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴。

T：以上几条性质能否全面刻划椭圆呢？

S(众)：不能。

用课件展示几个椭圆，让学生观察，比较。

T：这些椭圆除了对称性、顶点、长轴、短轴等共性外，是否还有其它有趣的性质呢？

(学生讨论)

有的学生：椭圆的扁圆程度。

由电脑展示两个扁圆程度明显不同以及两个大小不同，但扁圆程度不易明显区别出来的椭圆。

学生议论纷纷。

S1：究竟是什么量决定椭圆的扁圆程度呢？

S2：如何判定两个椭圆的形状是否相同？

S3：椭圆的扁圆程度与椭圆大小有关系吗？

T：咱们做个实验吧。

并说明实验过程：

(1)全班分为两个大组，每个大组有6个小组。

(2)第一个大组的实验用具是一个硬纸板、两个钉子、一根绳子。

第二个大组的实验用具是一个硬纸板、两个图钉、一根绳子，硬纸

板上画三个矩形。

(3)a、c是椭圆的两个基本量，给定a、c椭圆即确定，其扁圆

程度也确定，那么第一组的同学是否可以由椭圆的定义出发考虑，能否用一个量刻划扁圆程度。

第二组在每个矩形内画一个椭圆，使其长、宽分别是椭圆的长轴长、短轴长，三个矩形的长、宽各不相同。

(学生开始实验，实验完毕，第一组的六个图都展示在黑板上。)

T：第一组的同学要探究的问题是：什么量能刻划椭圆的扁圆程度，派个代表说

说你们的研究结果好吗？

S4：a、c这两个量共同决定椭圆的扁圆程度。

我们组画了两个椭圆，发现在图钉位置固定不变的前提下(c相同)，绳长越长的，椭圆越接近圆；绳长越短，椭圆越扁。

(其他同学认可)

学生受到启发，提出问题。

S5：如果a不变呢？

T：是呀，a不变会怎样呢？

学生马上动手实验，并很快得出结论。

S6：我们画了两个椭圆，绳子不变(a不变)，C越小，椭圆越接近圆；C越大，椭圆越扁。

T：太棒了，但能否将这种定性描述定量化呢？能否用一个量来刻画椭圆的扁圆程度呢？

学生经过激烈争论，最后发现问题答案。

S：用a、c的比值。越小，椭圆越接近圆，越大越扁。

T：“越小”有多小？“越大”有多大。S：0<<1.

教师与学生共同完成下表：

T：答案找到了吗？

(有的学生已经发现规律)

T：让我们换个视角再看看。

如图：

,θ∈（0，）,越大→cosθ越大→θ越小→椭圆越扁。反之亦然。

教师：第二大组的同学进行展示。

(受到上一个组的研究结论的启发，有一个同学抢答，S8展示两个大小不同，但形状相同的椭圆。

S9：如果两个矩形长、宽成比例，则椭圆的扁圆程度相同。

T：为什么？

S10：a、b成比例，则a、c也成比例，因此相同。

教师板书，完善答案。“成比例”即

∴

实际动手测量，验证以上结论。

T：以上研究说明什么？

(学生议论)

S11：只决定椭圆的扁圆程度，与椭圆的大小无关。

T：长、宽成比例的长方形我们称为相似矩形，类似地。这样两个相同的椭圆，我们是否可以给它们起个名字。

S12：相似椭圆。

(板书)：=-离心率

教师用课件演示，变化时，椭圆扁圆程度的变化情况，帮助学生加强理解。

T：以上我们的研究过程体现了观察→归纳→猜想→证明，这是解决问题的基本程序。

教学设计思想：

整节课以学生探究为主，通过实验，探索解决问题的方法，使学生体会数学知识，结构的形成过程，促进学生对数学知识方法人体系的理解。学生直观感受提出分散的问题，教师将其归纳为两个研究方向：1.用什么量刻画椭圆的扁圆程度。2.椭圆的扁圆程度是否与大小有关。第一个研究方向是以第四类问题展开的，在已有旧知识（椭圆定义）的基础上，学生通过动手实验，先得出c不变，a与椭圆扁平程度的关系，学生很自然提出问题“a不变呢？”问题步步深入，运用了控制变量的思想。在第一个问题结论的基础上，学生可以很快找到第二个问题的解决方法。这样，对椭圆离心率的探究就较为全面了。

课后反思：

这节课是基于问题类型连续体的教学设计理念，围绕“椭圆的离心率”，设计问题，深化问题。而问题是属于哪一个类型的，应该由所讲授的内容的深化程度决定。希望学生认识到数学中每一个概念的形成，都是由于解决问题的需要。在教学中更加关注过程，指导学生把握数学知识方法体系的形成过程，为学生提供探究的机会，这节课围绕椭圆的离心率，充分挖掘这一内容的深层意义。波利亚“……如果他(教师)用和学生的智能水平相称的题目来激起他们的好奇心，并用一些激励性问题去帮助他们解答项目，那么他们就能培养学生对独立思考的兴趣。”通过问题的设计，让学生学会思维。在这节课的教学过程中，有些环节都可留给学生更大的思考空间，有利于师生互动，问题之间的梯度可以再大些。给学生对自己的学习活动更多的反思、调控、完善、修正的机会，营造一个可以让更多学生参与的教学环境。教师的教育教学观念的改革很重要，只有这样，才能做到课堂教学环节的变革：变复习为质疑，变导入为创设情境，变讲授为师生互动，变巩固为反思，变作业为主动学习。使我们的课堂充满智慧和思想。