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| “集合与简易逻辑”教材分析
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作者： 河北省徐水综合高中 / 蒋文利
发表时间： 2005-9-14 文章出处： 摘自：《中国教师报》
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一、地位和作用
集合概念及其基本理论是近代数学的一个重要的基础。集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用。逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科。学习数学，离不开对逻辑知识的掌握和运用，需要全面地理解概念，正确地进行表述、推理和判断，它是学习、掌握和使用数学语言的基础，是我们认识问题、研究问题不可缺少的工具。
本章是高考必考内容之一，在选择题中都有出现，但单一的解答题一般不会出现，而是与其他知识进行综合考查，比如函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何等。
二、本章重点、难点
重点是：（ 1 ）有关集合的概念；（ 2 ）绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法；（ 3 ）逻辑联结词 “ 或 ” 、 “ 且 ” 、 “ 非 ” 与充要条件。
难点是：（ 1 ）有关集合概念的含义以及这些概念相互之间的区别与联系；（ 2 ）对绝对值意义的理解；（ 3 ）对一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系的认识和理解；（ 4 ）对一些命题真假的判断，关于充要条件和反证法的应用。
三、本章的教学要求
1. 理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；掌握带绝对值的不等式与一元二次不等式的解法；掌握符号、语言、图形三者的转化。
2. 理解逻辑联结词 “ 或 ” 、 “ 且 ” 、 “ 非 ” 的含义；理解四种命题及其相互关系；进一步了解反证法，会用反证法证明简单的问题；掌握充要条件的意义。
3. 教学中应采用由具体到抽象的方法，让学生体会转化思想、补集思想、分类讨论、数形结合思想等数学思想方法解决问题的优越性。
四、教材处理
第一部分： “ 集合 ”
1. 在初中数学中，学生已经对数集、点集等有了一定的感性认识，学习本节时要结合实例讲清集合的初步知识。为了运用与巩固集合知识和后续学习的需要（函数的定义域与值域），第一部分最后安排了绝对值不等式与一元二次不等式的解法，这样既巩固了学生已经学过的有关集合的基本概念，又为下一章研究函数性质作必要的准备，起到了承前启后的作用。因此，教学中应注意以下几点：
（ 1 ）概念、术语的意义要讲清，集合语言、集合符号的使用和正确表述要注意。
比如，对交集与并集中的 “ 且 ” 与 “ 或 ” ，必须使学生明确其涵义： “ 且 ” 的意思与通常所理解的 “ 既是、又是 ” 一样，但 “ 或 ” 的意思与通常所理解的 “ 非此即彼 ” 却有区别，它是两者可兼有的（数学中的 “ 或 ” 可兼有，生活中的 “ 或 ” 一般不兼有）。例如 “x ∈ A 或 x ∈ B” 包含三种可能：一是 x ∈ A ，但 x? 埸 B ；二是 x? 埸 A ，但 x ∈ B ；三是 x ∈ A 且 x? 埸 B 。
（ 2 ）集合的概念对学生是第一次接触，要通过实例，让学生领悟概念的内涵，并结合图形，加强直观性教学。
2. 解绝对值不等式的基本方法是依据绝对值的定义，通过变换转化成不含绝对值的不等式，要讲清转化的途径有两种：一是直接依据绝对值的定义： |x|=x(x? 莛 0)-x(x<0) 通过分段讨论，进行转化；二是依据绝对值的性质转化为不含绝对值的不等式：
当 a>0 时， |x|<A? 圳 -A<X<A ；
|x|>a? 圳 x<-a 或 x>a
3. 一元二次不等式是高中数学中应用最多的不等式，它与一元二次方程、一元二次函数是分不开的。教学时要注意三者之间的相互联系和相互应用，而利用二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 图像来解一元二次不等式时，关键是掌握二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 图像和 x 轴的关系。在本节的教学中，二次函数图像与一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，是教学的重点，也是关键，要通过数形结合讲清、讲透。
4. 解不等式时，一定要注意树立等价转化的思想，要保证每一步进行的都是不等式的同解变形（即等价变换）。
第二部分： “ 简易逻辑 ”
1. 学生在初中学过简单的命题和简单的推理方法。学习本节时，可以分析初中学过的一些定义和定理，既可加深对逻辑联结词的理解，增强对复合命题的认识，又可体现初、高中知识的衔接和知识的连贯性与实用性。如： “ 三角形的中位线平行于第三边 ” 是简单命题； “ 菱形的对角线互相垂直且平分 ” 是 “ ｐ且 q” 形式的复合命题； “ 不等式 (a-b)2? 莛 0” 是 “ ｐ或 q” 形式的复合命题； “? 仔非有理数 ” 是 “ 非 p” 形式的复合命题。
2. 简易逻辑与集合有着密切的联系，简易逻辑中的很多问题都可以转化为集合的观点来解决。
（ 1 ）逻辑联结词与集合的交、并、补运算的关系。
① 对 “ 或 ” 的理解可联想到集合中 “ 并集 ” 的概念 AYB=x ｜ x ∈ 或 x ∈ B 中的 “ 或 ” ，它是指 “x ∈ A” 或 “x ∈ B” 中至少有一个成立。
② 对 “ 且 ” 的理解，可联想到集合中 “ 交集 ” 的概念， AIB=X ｜ X ∈ A 且 X ∈ B 中的 “ 且 ” 是指 “x ∈ A” 和 “x ∈ B” 这两个条件都要满足。
③ 对 “ 非 ” 的理解，可联想到集合中的 “ 补集 ” 概念，若命题 P 对应于集合 A ，则命题非 P 就应对应着集合 A 在全集 U 中的补集 CuA 。
(2) 用集合观点来理解 “ 充分条件 ” 、 “ 必要条件 ” 、 “ 充要条件 ”
① 若 p? 圯 q ，则 p 是 q 的充分条件；若 p? 坩 q ，则 p 是 q 的必要条件。设 A={x|p}B={x|q} ，如果 A? 哿 B ，就是 x ∈ A 则 x ∈ B ，则 A 是 B 的充分条件，即 p? 圯 q 。如图 1 所示。
② 若 A=B 则 A 是 B 的充要条件，即 p? 圳 q 。
（ 3 ）要从逻辑和集合两个角度去理解概念，掌握判断四种命题的方法 ---- 定义法、集合法（利用集合之间的包含关系）、转化法（等价命题）、传递法。结合转化思想、数形结合思想等用集合观点来解决 “ 简易逻辑 ” 中一些问题。
例：已知 x 、 y 为实数，则 “|x|+|y|≤1” 是 “|x|≤1 ， |y|≤1” 成立的（）条件 ?
A 、充分不必要； B 、必要不充分； C 、充要； D 、既不充分也不必要
分析：集合 A={(x,y)||x|+|y|≤1} 与 B={(x,y)||x|≤1 ， |y|≤1} 表示的图形。
如图 2 所示，可以知道， A? 奂 B ，所以 |x|+|y|≤1 是 |x|≤1 ， |y|≤1 的充分而不必要条件。
3. 从逻辑上理解 “ 反证法 ” ：假定 P 与 “ 非 P” 的结论所确定的集合分别是 A 、 B ，则 A 、 B 满足 A ∪ B=I （全集）， A∩B=φ ， “ 非 P” 结论必须包含 P 的结论的所有对立面，否则，使用反证法证题时就可能发生错误。例如：实系数一元二次方程的根的情况有三种，任何一种的否定都应该包含另外的两种，所以 P 的对立面是 “ 方程 x2■ － 3x+2=0 有两个不相等的实根或无实根 ” 。而 “ 非 P” 形式：方程 x■2 － 3x+2=0 没有两个相等的实根。
纵观本章内容，我们在教学中必须把握好教学要求，特别要注重对概念的理解和应用，通过练习逐步消化理解，逐步提高认识，切不可盲目膨胀，不要过分加深、加难。教学中应以 “ 用 ” 为主，只要学生能正确运用这些知识去分析问题、解决问题就行。但是，作为教师只了解这些内容，而不知道其他有关逻辑知识是远远不够的。
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