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| 《反函数》说课分析
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作者： BX
发表时间： 2005-9-13 文章出处： 摘自：《中基网》
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说课内容：《高中代数》（必修本）上册第 1.11 节
一、说教材
1 、地位与重要性
“ 反函数 ” 一节课是《高中代数》第一册的重要内容。这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为日后反三角函数的教学做好准备 , 起到承上启下的重要作用。
2 、教学目标
（ 1 ）使学生接受、理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；
（ 2 ）使学生能够求出指定函数的反函数，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；
（ 3 ）培养学生发现问题、观察问题、解决问题的能力；
（ 4 ）使学生树立对立统一的辩证思维观点。
3 、教学重难点
重点是反函数的概念及反函数的求法。理解反函数概念并求出函数的反函数是高一代数教学的重要内容，这建立在对函数概念的真正理解的基础上，必须使学生对于函数的基本概念有清醒的认识。
难点是反函数概念的接受与理解。学生对于反函数的来历、反函数与原函数间的关系都容易产生错误的认识，必须使学生认清反函数的实质就是函数这一本质问题，才能使学生接受概念并对反函数的存在有正确的认识。教学中复习函数概念，进而引出反函数概念，就是为突破难点做准备。
二、说教法
根据本节课的内容及学生的实际水平，我采取引导发现式教学方法并充分发挥电脑多媒体的辅助教学作用。
引导发现法作为一种启发式教学方法，体现了认知心理学的基本理论。教学过程中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的 “ 发现 ” 和接受，进而完成知识的内化，使书本的知识成为自己的知识。课堂不再成为 “ 一言堂 ” ，学生也不会变成教师注入知识的 “ 容器 ” 。
电脑多媒体以声音、动画、影像等多种形式强化对学生感观的刺激，这一点是粉笔和黑板所不能比拟的，采取这种形式，可以极大提高学生的学习兴趣，加大一堂课的信息容量，使教学目标更完美地体现。另外，电脑软件具有良好的交互性，可以将教师的思路和策略以软件的形式来体现，更好地为教学服务。
三、说学法
“ 授人以鱼，不如授人以渔 ” ，在教学过程中，不但要传授学生课本知识，还要培养学生主动观察、主动思考、自我发现的学习能力，增强学生的综合素质，从而达到教学的终极目标。教学中，教师创设疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，在积极的双边活动中，学生找到了解决疑难的方法。整个过程贯穿 “ 怀疑 ”----“ 思索 ”----“ 发现 ”----“ 解惑 ” 四个环节，学生随时对所学知识产生有意注意，思想上经历了从肯定到否定、又从否定到肯定的辨证思维过程，符合学生认知水平，培养了学习能力。
四、说过程
在新课导入、新课讲授及终结阶段的教学中，我力求发挥学生自我发现的能力，突出学生的教学主体地位，以启发、引导为教师的责任。
1 、新课导入
首先，在导入阶段的教学中，抓住反函数也是函数这一实质，以对函数概念的复习来引出反函数。指明函数是一种映射的实质，分析原函数中映射的具体情况，进而引导学生考虑，若将定义域、值域互换，此时映射还是不是一个函数呢？
首先提问学生函数基本概念，使学生明白函数是一种单值对应，即映射。再出示电脑动画，以函数 y=2x 来具体分析，结合图象引导学生注意：在定义域内所有自变量，都能在值域内找到唯一确定的一个函数值，即存在 x→y 的单值对应，例如： 1→2 ， 2→4 ， 3→6 ， …… 若将定义域与值域互换，则对应变为 2→1 ， 4→2 ， 6→3 ， … 这种对应是否构成单值对应，即映射呢？这种对应是否构成函数呢？至此，引出反函数的概念，为概念的新授做好准备。
这样的引入方式，抓住了反函数概念的实质，确保学生不会产生概念上的偏差。此外，可以使学生明白新知识来源于旧知识，促使学生主动运用函数的研究方法去学习反函数，为顺利完成教学任务做好思维上的准备。
2 、新课讲授
在导入的基础上，给出反函数的具体概念。
给出概念后，必须防止学生对于反函数 f-1(y) 形式的误解（以为是 1/f(x) ）。此外，还要学生理解：最终的表达形式写为 y=f-1(x) 是顺应习惯，并且也为后面的图象研究提供方便， y 实际上是原函数中的 x ， x 是原函数中的 y 。对于这一问题可以引导学生从图象观察得出。
进一步深化对概念的理解，出示电脑幻灯，设置疑问：（ 1 ）反函数是不是函数；（ 2 ）反函数有没有三要素？如何确定？
引导学生思索，学生逐渐会认识到：反函数也是函数，其定义域是原函数的值域，对应法则可由原函数得到，值域则是原函数的定义域。
这时，给出电脑动画，指明反函数与原函数的关系。澄清学生对于概念的认识，抓住问题的关键。
但是，具体怎样求一个函数的反函数呢？
这些问题，必须通过实例解决，于是进入例题解答过程。
例 1 、求下列函数的反函数。
（ 1 ） y=3x-1(x ∈ R) ； (2)y=x 3 +1 ；
（ 3 ） y=(2x+3)/(x-1)(x ∈ R 且 x≠1)
通过例 1 ，要使学生明白具体求反函数的过程。以达到突出重点、突破难点的目的。
启发学生：既然反函数也存在三要素，那如何一一求出，得到具体的反函数呢？这时结合第（ 1 ）小题，让学生思考问题。引导学生找出关键通过解关于 x 的方程，将 x 用 y 表达，以得到反函数的表达式。这个表达式中的 x 、 y 表示什么？这和我们通常的函数表达式有什么区别？进而引导学生想到交换 x 、 y 得到我们习惯使用的函数表达式。再考虑：反函数的定义域、值域怎么求？是怎样来的？学生思考后，可得出通过求原函数值域来得到反函数的定义域的方法。
教师板书第（ 1 ）小题，学生完成后两题。
此时，引导学生比较三道小题的解题步骤，师生共同小结出求反函数的三部曲：反解（把解析式看作 x 的方程，求出反函数的解析式） --→ 互换（求出所给函数的值域并把它改换成反函数的定义域） --→ 改写（将函数写成 y=f-1(x) 的形式）。
教师在这一部分教学中，抓住反函数是函数这一本质问题，突出了反函数与原函数之间的联系，给出了具体求解的过程，使学生掌握了重点问题的解决方法。教师以一个个问题来引导学生逐步 “ 发现 ” 解决问题的方法，符合学生的认知水平。在教师创设的问题情境中，学生的认识达到了第一次平衡。
“ 反函数的概念已经理解，反函数也会求了，任务已基本完成，该休息了 ” ，有的学生会这样想。这时，出示第二道例题，打破平衡，激起学生的疑难。
例 2 、（ 1 ） y=x 2 (x ∈ R) 的反函数
（ 2 ） y=x 2 (x≥0) 的反函数是
（ 3 ） y=x 2 (x<0) 的反函数是
相当一部分同学会按部就班求出第（ 1 ）小题的 “ 反函数 ”y=(x ∈ R) 。这对不对呢？出示电脑动画，引导学生观察图象，从函数的概念出发，必须存在 x→y 的单值对应，但反过来呢？ y→x 存不存在单值对应呢？适当的引导提问，使学生抓住了问题的关键：在原函数的定义域内必须存在 y→x 的单值对应，这是反函数存在的前提。认清这一问题后，引导学生进一步分析， y=x 2 (x ∈ R) 不存在反函数，在定义域的局部存不存在反函数呢？让学生借助图形发现答案，并且进一步得出 y=x 2 (x≥0) ， y=x 2 (x<0) 两个函数的反函数。这样，就突破了主要难点，澄清了概念，并为以后反正弦函数的教学做好理论准备。
这样设计的好处是：（ 1 ）通过函数图像来研究问题，直观形象，符合学生的认识水平，并且为后续的互为反函数的函数图像关系问题做好铺垫。（ 2 ）对于反函数的存在性问题，不能回避，必须使学生理解其内在含义，由具体的二次函数结合图像解决这一问题，可以澄清的学生的疑问，达到教学目标。
此时，趁学生对于概念有了一个比较清晰的认识，出示幻灯，从函数概念、反函数的存在性、反函数的求法三方面进行简单的归纳，突出重点，突破难点。
3 、终结阶段
（一）课堂练习
出示电脑幻灯，让学生完成以下练习：
（ 1 ）函数 y=2|x| 在下列哪个定义区间内不存在反函数？（）
（ A ） [2 ， 4] ；（ B ） [-4 ， 4] （ C ）（ 0 ， +∞] （ D ）（ -∞ ， 0]
(2) 求反函数： y=x/(2x+5),(x ∈ R 且 x≠-5/3)
（ 3 ）已知 y= ， x ∈ [0,5/2], 求出它的反函数，并指明定义域。
第一道题是概念题，使学生对于反函数的概念有更清晰的认识，使学生对于反函数的存在条件认识更深刻。第二道题使学生熟悉反函数的求法，突出重点。第三道题使学生加深对于概念的理解，弄清反函数与原函数的内在关系。
（二）小结归纳
通过对反函数概念和性质的小结，使学生理清这节课的重难点，并使终结阶段的教学更为完整，达到本堂课的教学目标。
让学生做课本 P65 习题六 2 、 3 、 5 ，通过作业反馈学生掌握知识的效果，以利课后解决学生尚有疑难的地方。
布置一道发散性的练习 [ 已知函数 y=f(x), （ x ∈ A ）是增函数，问：反函数 y=f-1(x) 单调性如何？图象中如何反映？ ] ，进一步深化教学。
五、课后分析
总之，在整个教学过程中，我抓住学生的 “ 主体 ” 作用作文章，不浪费任何一个促使学生 “ 自省 ” 的机会，以积极的双边活动使学生主动自觉地发现结果、发现方法。培养了学生的观察分析能力和思维的全面性。具体教学中，教师创设问题情境，学生在这一情境中去讨论分析、探究发现，以符合学生思维的形式发展了学生的能力，达到了教学目标，优化了整个教学。
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