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| 一元二次方程根的分布（2）的教学设计
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作者： 苏州市第十中学 沈建平
发表时间： 2005-10-24 文章出处： 数学教育网
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一元二次方程是高中数学中极其重要的内容，这段内容与一元二次不等式，二次函数等内容有着直接而密切的联系。讲解一元二次方程不能不涉及其根的分布。尽管在新教材中，将这段内容列为选学内容。根据我校学生的实际情况，我们决定不仅要讲解这段内容，而且希望达到一定的深度，使学生对这段内容有一个较为全面透彻的理解。
一、对学生已有知识的估计
在初中时，一元二次方程就是数学中的重点和难点内容，学生已经知道了方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c∈R)的求解方法。知道了判别式△=b2-4ac与方程是否存在实数根的关系，也掌握了一元二次方程根的分布最简单的情况，如判别式△和系数a,b,c满足什么条件时，方程有两个正根，两个负根，一正根一负根等。
二、一元二次方程的根的分布第二课时的教学设计
第一课时主要是帮助学生回忆、复习初中所学的相关内容，并进行总结归纳，给出一般性的结论。同时，进行变化略作提高。第二课时的教学就是要在第一课时的基础上，进行引伸、提高。考虑到一节课的时间与所讲内容难度，我决定找一个能一题多用的例题，以便提高效率，为此，我先给出了如下一个例题。
例题：
例1． 求实数m的范围，使关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0
(1) 有两个实根，且一个比2大，一个比2小；
(2) 有两个实根，且都比1大；
(3) 有两个实根α、β，且满足0<α<1<β<4;
(4) 至少有一个正根。
选题分析：
第（1）题由学生思考并回答。灵活运用初中所学知识，可以解决此问题。设x1 x2是方程的两实根，则 即 。但此题又存在一种更具特色的解法。设f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6,则这是一条开口向上的抛物线，由题意，抛物线与直线x=2的交点在x轴的下方，于是f(2)<0。即22 +2(m-1)2+2m+6<0。第二种方法比起第一种方法，在思维上是一种飞跃，它是将抛物线的有关知识运用到一元二次方程上来，需要很好地掌握两方面的知识，学生初次接触这种方法，部分学生在理解上会产生一定的困难。作为教师要注意到这一点，事先有足够的准备，要作重点讲解。
第（2）、（3）、（4）题都是在第（1）题的基础上，难度逐个递增的小题，这三个小题仅用初中所学知识是不够的，必须把的相应问题转化为二次函数问题来解决。也即二次函数的图象与x轴的交点的位置的分布。学生在解决这类问题时，容易出现的错误是思考不周，少考虑了一些必须考虑的因素，特别有区间时，区间的端点常常成为盲点，从而使得到的条件组的条件不足。这是教学时特别要注意的。
关于教学方法，我认为用师生共同讨论的方法较好。如第（3）题，在令f(x)=x2+2(m-1)x+2x+6之后，让学生想想，图该怎样画？由这张图，你能得到怎样的条件组？与已知条件等价吗？这三个小题都有一定的难度，尤其是第4小题，更加困难一些，因此一个学生的回答可能会有缺陷，需要有其他学生补充、纠正，必要时教师应适时引导。
本节课给出的第二个例题是：
例题2 在下列条件下，分别求出m的取值范围
（１）方程x2-mx+4=0在[-1，1 ]有解：
（２）函数f(x)=x2-3x+4-m的图象与横轴 x在[-1，1 ]上有交点。
设计例题2，是希望能让学生见识一下其它情形的一元二次方程的根的分布，拓展视野；同时也体会一下分类讨论思想在这类问题中是如何运用的；例题2也是在例题1的基础上的再提高。这个例题的主要解答过程也是由学生回答。
三、教学后的反思
这节课按照设想完成了。效果如何呢？我布置了如下的几道作业题：
１.关于X的方程2kx2-2x-3k-2=0的两个实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围。
２.已知关于x的方程kx2+1/2kx+k-2=0有两个实根，其中一根在(0，1)之间，另一根在(-1，0)之间，求实数k的取值范围。
３.关于x的方程2x2-3x-3+2m=0的两根均在[-1，1]之间，求m的范围。
４.集合A={（x,y）|y-x2+mx+2},B={(x,y)|x-y+1=0且0≤x≤2}，若A∩B≠Ф，求实数m的取值范围。
思考题：
１.关于实系数的一元二次方程x2+ax+bx=0的两实根α，β，证明
（１）如果|α|<2，|β|<2，那么2|a|<4+b且|b|<4;
（２）如果2|a|<b+4且|b|<4，那么|α|<2,|β|<2.
题1和题2和例1中第（1）、（3）题相似，差不多都做对了。第3题与两道例题略有差别，约三分之二的学生做对。第4题需要一定的灵活性才能解决，约三分之一的学生做对。思考题是一道高考题，，题目难度大，是给基础扎实，学有余力的学生做的。个别学生能完成。从整个情况看，作业做得不错，基本上实现了教学目的。我认为，在生源比较好的学校，按照上述要求上课，学生是能够接受的。
我了解我的学生，我相信他们的实力。在整个一节课上，基本上是学生讲为主，我讲为辅。像例2这样较为困难的问题，我也鼓励学生大胆思考，不怕困难，一个人完不成，讲不透，第二个人、第三个人补充，直到完成整个例题。这样上课气氛非常活跃，学生之间常会因为某个观点的不同而争论，作为教师可能比较辛苦。一方面要控制好整节课的节奏，另一方面又要察言观色，适时地对某些观点作出判断，或与学生一同讨论。我想，如果以后再讲到这一段，这节课会有很大的参考价值。
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