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| 等差数列的前n项和
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作者： bx
发表时间： 2005-11-24 文章出处： 中国教研网
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人教版高中数学第一册
教学目标：
①掌握等差数列前n项和公式及其推导方法，并能运用公式解决一些简单问题。
②培养学生探索问题和解决问题的意识，提高学生的数学能力。
教学重点和难点：
难点——等差数列前n 项和公式的推导和公式运用中的化归。
重点——等差数列前n项和公式及其简单运用。
教学方法： 启发与探索相结合，完成本节课教学。
教具：投影仪。
教学过程：
新课引入
我们小学时可能就知道，高斯10岁时就能神速的求出１+２+３+…+１００＝5050，（可复述故事），提问：
⑴ 他是如何快速求和的？他抓住了问题的什么特征？
⑵ 如果换成１+２+３+…+200＝？我们能否快速求和？如何求？
(激发兴趣，引导学生发现等差数列的一种“对称性”，即第k 项与倒数第k 项的和均等于首项与末项的和，为公式引入和推导作铺垫。)
上述问题实际都是等差数列的求和问题，在我们的现实生活中，有很多这样的问题，如：
⑶ 一个堆放铅笔的Ｖ形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放１２０支，这个Ｖ形架上共放着多少支铅笔？
⑷ 一个剧场设置了20排座位，第一排有38个座位，往后每一排都比前一排多2个座位，这个剧场一共设置了多少个座位？
(让学生认识到求出等差数列前n 项和公式的必要性。)
设｛a ｝是等差数列，那么a +a +a +…+a 等于多少？能否推导出一个公式呢？
由⑴⑵引导，猜想公式
a +a +a +…+a =
新课
㈠ 公式推导
引导学生完成公式的推导。
(此步的关键是联想⑴⑵的求和特点，引导学生利用等差数列的“对称性”进行求和。学生的思路可能有两种 ，重新排序分组求和与倒序求和，进行比较选择。)
说明：数列前n项的和记为s ,对于等差数列｛a ｝,
s = ①
又因为a = a +(n-1)d，
s =n a + d。 ②
①和②都是等差数列的前n 项和公式。
提问：当n 为偶数时，在前n 项中，a +a =a +a =a +a =…,有多少组这种和相等的数对？如果n为奇数呢？
(加深对等差数列特征的认识和对公式的理解。）
㈡ 公式的应用
下面来看问题③
分析 由题意可知，这个Ｖ形架上共放着１２０层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为｛a ｝,其中a ＝１，a =120，应用公式⑴比较方便，s = ＝７２６０。
变式 ①一个堆放铅笔的Ｖ形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，共堆放着７２６０支铅笔，最上一层有多少支铅笔？
②一个堆放铅笔的梯形架，从最下一层开始，往上每一层都比它下面一层多放一支，堆放了11层，中间一层有10支铅笔，这个梯形架共堆放了多少支铅笔？
(培养思维的灵活性和加深对公式本质的认识。)
练习 新课引入中的问题⑷。
通过上述问题的练习，让学生领悟并总结以下几点：
① 如何根据已知选择求和公式？
② 在a ，n ，a ，d，s 中，已知其中三个，可求出另外两个。
③ 在运用求和公式⑴时，关键是求出a +a 这个整体，而不一定求出a 和a 。
④ 处理应用题，关键是建立数学模型，转化为数学问题来解决。
例 已知数列｛a ｝的前n项和s =12n–n ，求数列｛|a |｝的前n 项和T 。
思考： |a | =？，是不是等于a ？T 是否等于s ？
通过设凝，引导学生从n=1,2,3,4,5,6,7,8的特殊情况出发，发现如下结论：
i 当n=1,2,3,4,5,6时，|a |= a ，T = s ；当n=7,8…时，|a | a ，T s 。
ii a 与s 的关系。
解答过程由师生共同完成。
解：∵s =12n–n ，a =s =12–1 =11
a = s –s
=(12n–n )–[12(n–1)–(n–1) )
=13–2n
上式对n=1时也成立，
∴a =13–2n
又a –a =[13－2(n+1)]–(13–2n)=–2，
∴｛a ｝为等差数列。
由13－2n>0得n<6.5,故当n 6(n∈N ) 时，a ＞0；
当n 7(n∈N )时，a ＜0。
于是，当n 6(n∈N )时，|a |= a ，T = s ，即T = 12n–n ；
当n 7时，|a |=–a ，| a |=|–1|=1，T =36， 所以
T =36+ =36+(n–6) ，所以
T =
小结：
本节课学习了等差数列的前n 项求和公式和它的推导，以及公式的简单运用，运用时应根据已知条件适当的选择公式，应注意和通项公式的联系，应注意问题的转化。
作业：课本P 习题2、3。
课后研究：等差数列的前n和公式和二次函数有什么关系？
教学设计说明：本课时的教学内容是公式的推导及其结论以及简单的应用。教学设想是既要突出重点，突破难点，又要体现知识的发现过程，培养学生的创新意识和探索实践能力。本教案设计为“特殊－猜想－证明－应用”的模式，由学生熟知的故事引入，通过特殊的等差数列求和探索一般性结论，再给予证明，暴露思维过程。由于有（1）（2）的铺垫，公式的得来和证明水到渠成，符合认知规律。学习公式是为应用服务，应用题的选用，体现求和公式在实践中的运用，培养学生的数学实践能力。启用变式题，加深对公式的认识，训练思维的灵活性和创新意识。安排最后一道例题，其探索解答过程是求和公式、化归思想、分类思想、一般性与特殊性关系的综合运用，以提高学生的思维层次。
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