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| 第五章 平面向量 5.7 平面向量数量积的坐标表示
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作者： BX
发表时间： 2005-12-13 文章出处： 中央电化教育馆
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1．掌握平面向量数量积的坐标表示和运算，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，掌握平面内两点间的距离公式．
（1）根据向量的坐标计算它们的数量积，由数量积的坐标形式求两个向量的夹角．
（2）运用向量垂直的坐标表示的充要条件解决有关问题，特别是运用坐标法证明两个向量垂直．
（3）根据已知条件灵活运用平面内两点间的距离公式．
2．通过本节内容的研究学习，培养学生的动手能力和探索精神．
3．通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合思想，增强用两种方法——向量法与坐标法处理向量问题的意识．
二．教学重点 平面向量数量积的坐标表示，及向量垂直的坐标表示的充要条件．
教学难点 平面向量数量积的两种形式的内在联系及有关知识的灵活运用.
三．教学具准备
直尺、投影仪
四．教学过程
1．设置情境
我们知道，向量的表示形式不同，对其运算的表达方式也会改变．向量的坐标表示，为我们解决向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便，那么向量的坐标表示，对数量积的表达方式会带来哪些变化呢？
本节课我们就来讨论这一问题
2．探索研究
（1）师：请同学思考一下，如何用向量的长度、夹角反映数量积？又如何用数量积、长度来反映夹角？向量的运算律有哪些？
生： ，
运算律有1．
2．
3．
师：已知 ，怎样用 、 的坐标表示 呢？请同学看下列问题（投影）
设① ___________ ② ____________
③ ____________ ④ ____________
参考答案①1；②1；③0；④0.
师：你能推导出 的坐标公式吗？
师：
师：正确！这就是向量的数量积的坐标表示，类似可得：  . 若设 、 则 ，这就是 、 两点间的距离公式.
师：请同学写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐标表示式.
生：（1）
（2）
（3）
（2）例题分析
【例1】设 ， ，求 .
解：
问： 、 夹角多大？
【例2】已知 ， ， ，求证 是直角三角形.
证明：∵
∴ 
 是直角三角形.
问：还有其他证明方法吗？
（可计算 、 、 ，然后用勾股定理验证）
【例3】求与向量 的夹角为 的单位向量.
分析：单位向量其长为1.
解：设所求向量为
∵  与 成
∴ 
另一方面 
∴  ……①
又 ……②
联立解之： ， 或 ， .
∴  或
说明：也可以设 ，还可以先把 单位化.
3．演练反馈（投影）
（1）已知 ， 且 ，求 .
（2）已知 ，求与 垂直的单位向量.
（3） 中， ， ，求 的值.
提示：分类讨论
参考答案：
（1）
（2）∵  ，则易证 或 与 垂直.
∴ 与 垂直的单位向量为 ，或 ，而 .
∴  或 为所求答案.
（3）解：① 时，
② 时，
③ 时， .
4．总结提炼
（1）用坐标表示的数量积公式，常用来计算两向量的夹角.
（2）两向量垂直时，在表达方式上有一定技巧，如 与 总是垂直的。
（3）把一平面向量单位化，有时能给讨论问题带来方便，比如求 在 方向的投影，不妨先把 单位化，为 ，则 就是所求答案。
五．板书设计
课题
1．复习数量积定义式
2．计算基度向量 、 的数量积3．推导 公式
例题
1
2
3
演练反馈
总结提炼
教案点评：
本节课通过探索研究，学生自己归纳出了向量平行和垂直的坐标表示式.并通过典型例题和习题进行巩固，加深了对所学知识的理解。
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