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| 10.4 二项式定理
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作者： BX
发表时间： 2005-12-13 文章出处： 中央电化教育馆
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10．4二项式定理 第一课时
教学目标
掌握二项式定理有其推导方法以及二项展开式的有关特征，并能用它们计算和论证一些简单问题。
教学过程:
【设置情境】
问题 某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年利率11％，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种年利率9％，按每年复利一次计算，10年后收回本金和利息。
试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年后可多得利息多少元？
分析：本金10万元，年利率11％，按单利计算，10年后的本利和是
10×（1＋11％×10）＝21（万元）
本金10万元，年利率9％，按每年复利一次计算，10年后的本利和是
那么如何计算 的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、准确地求出其近似值呢？这就得研究形如 的展开式。
【探索研究】
由 
那么 
展开后，它的各项是什么呢？
容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：
现在来看上面各项在展开式中出现的次数，也就是看展开式中各项的系数是什么？
在上面4个括号中：
每个都不取b的情况有1种，即 种，所以 的系数是 ；
恰有1个取b的情况下有 种，所以 的系数是 ；
恰有2个取b的情况下有 种，所以 的系数是 ；
恰有3个取b的情况下有 种，所以 的系数是 ；
4个都取b的情况下有 种，所以 的系数是 ；
因此
 。
请同学们归纳、猜想
一般地，对于任意正整数n，上面的关系式也成立，即有
 
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做 的二项展开式。
在这里，教师应当指出，上面的定理严格来说是必须证明的，由于知识的局限，以后再证明。
二项展开式有以下特征：
（1）共有 项。
（2）各项里a的指数从n起依次减小1，直到0为止；b的指数从0起依次增加1，直到n为止。每一项里a、b的指数和均为n。
利用二项式定理可以求二项展开式。
例1 展开 。
解：
 。
例2 展开 。
解：先将原式化简，再展开
 
 。
例3 用二次式定理证明：
（1） 能被100整除；
（2） 能被 整除。（ ）
证明：（1）∵
∴ 能被100整除。
（2）可先让学生仿照（1）证明，教师再讲解。
∵
 
 
而 ∴ 是正整数。
故 能被 整除。
【演练反馈】
1．计算： 。
（由一名学生板演后，教师讲解）
2．求证：  。
（由一名学生板演后，教师讲解）
3．求 展开式中含x项的系数。
（学生练习后，教师分析讲解）
4．解决本节课开始提出的问题。
【参考答案】
1．解：
 
 。
2．证明：右边
 左边
故原式得证。
3．解法1：
  。
显然只有 中含有x项，其系数为
 。
解法2：由于
 
∴展开式中含x项的系数是
 。
4．解：
由此可见，按年利率9％每年复利一次计算的要比年利率11％单利计算更有利，10年后多得利息1.645万元。
【总结提炼】
1．二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式，要理解和掌握展开式的规律。利用它就可以对二项式展开，进行计算或证明。
2．对课本第105页这样一段话“容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积”，要能透彻理解，在解题中适时应用会显得很方便。
板书设计:
10．4 二项式定理（一）
（一）设置情境
问题
（二）二项式定理及其结构特征
（三）例题与练习
例1
例2
例3
练习
（四）小结
10．2二项式定理 第二课时
教学目标：
会用二项式的通项公式求展开式中的指定项或指定项系数。
教学过程：
【设置情境】
问题 试判断 的展开式中有无常数项？如果有，求出该常数项；如果没有，说明理由。
分析：这个问题仅凭观察、想象，无法判断；但展开又嫌太烦且无必要，那么有无良法呢？
【探索研究】
1．二项展开式的通项公式
二项展开式中的 叫做二项展开式的通项，用 来表示。即通项为展开式的第 项。
 。其中 叫做二项式系数。
对于 的展开式，其通项公式为
 。
由于其通项一般记为 ，所以r不是项数， 才是项数；反过来，当已知项数时，将它减去1，才得到r。
2．二项展开式的通项公式的作用
二项展开式的通项公式，反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项系数、常数项、有理项及系数最大、绝对值最大的项。
3．例题分析
例1 求 的展开式中的倒数第4项。
（1）求 的展开式中的第4项的系数；
（2）求 的展开式中 的系数。
解：（1）展开式的第4项为
∴第4项的系数是280。
（2）设展开式的第 项为含 的项，则
∴ 
即展开式中的第4项含 ，其系数为
 。
【演练反馈】
1．求 的展开式中a、b的指数相等的项。
（由一名学生板演后，老师指出“某一项”与“某一项系数”的区别）
2．解决【设置情境】中的问题。
（由一名学生板演后，教师讲评）
3．求 的展开式里有多少个有理项？
（学生练习后，教师讲解）
4．求 的展开式中第3项的二项式系数及第4项的系数。
【参考答案】
1．解：设展开式中的第 项a、b的指数相等，则
依题意得
解得 
所以a、b指数相等的项是第10项，即
 。
2．解：假设展开式的第 项为常数项，则
依题意
故在 的展开式中有常数项，它是第9项，即
 。
3．解：设展开式的第 项为有理项，则
对于一切有理项， 、 必为整数，则r必是6的倍数。
又  ，
∴
 解得 。
故 展开式中的有理项有17个。
思考：在本题中若问无理项有多少个，如何解决呢？
4．解：通项公式为 
故第3项的二项式系数为
第4项的系数为 。
注意：二项展开式的二项式系数与该项的（字母）系数是两个不同的概念，前者是指 ，而后者是指除字母外的部分。
【总结提炼】
二项展开式的通项公式反映了展开式的一般项，利用它可以求展开式中的任意指定项（如中间项、常数项、整数项、有理项等等）或指定项的系数。
板书设计
10．4 二项式定理（二）
（一）设置情境
问题
（二）探索研究二项展开式的通项公式
（三）例题分析
例1
例2
（四）总结提炼
10．4二项式定理 第三课时
教学目标：
掌握二项展开式中的二项式系数的三条性质及有关推导方法，并能简单应用。
教学过程：
【设置情境】
在杨辉的《详解九章算术》中载有一个“开方作法本源”图。如图所示，就是“杨辉三角”。那么这个图是如何得来的？它表达的是什么？这节课我们就来共同探讨这个问题！
【探索研究】
上节课我们已经知道
在二项式定理  中， 叫做二项式系数。
它们是一组仅与二项式的次数n有关的 个组合数，而与a、b无关，值得注意的是它们与展开式中的“系数”是有区别的。
1．“杨辉三角”的来历及规律
 展开式中的二项式系数，当 时，如下表所示：
 …………………………………1 1
 ………………………………1 2 1
 ……………………………1 3 3 1
 …………………………1 4 6 4 1
 ………………………1 5 10 10 5 1
 ……………………1 6 15 20 15 6 1
这个表叫做二项式系数表，也称“杨辉三角”。
由学生观察这个表的规律，表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。当n不大时，可以根据这个表来求二项式系数。
 展开式的二项式系数依次是
从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ，其定义域是
2．二项式系数的性质
1）对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。这一性质可直接由公式 得到。
2）增减性与最大值
由于
所以 相对于 的增减情况由 决定。由
 。
可知，当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、 相等，且同时取得最大值。
3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令 ，则
 。
这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于 。
同时由于 ，上式还可以写成
 。
这是组合总数公式，表示在n个不同元素里，每次取1个、2个、…、n个元素的所有组合数的和。
3．例题分析
例1 证明在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
证明：在展开式
  中，令 ，得
 。
就是
∴ 
即在 的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数的和。
例2 已知 的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项。
解：依题意
整理得 
∴
设展开式中含x的项是第 项，则
∴ 
解得
故展开式中含x的项为第3项，即
 。
【演练反馈】
1．已知 的展开式中的系数和比 的展开式中的二项式系数和大240，求 的展开式中的第3项。
（由一名学生板演后，教师讲评，着重指出“二项式数”与“系数”的区别）
2．在二项式 的展开式中，求系数最小的项的系数。
3．求 的展开式中系数最大的是第几项？
（学生思考后，教师引导分析，展开式中系数最大的项不是中间一项）
4．设： 。
求： 的值。
（学生练习后，教师讲解，指出“取特值”是二项式定理中常用的方法）
【参考答案】
1．解：依题意有
解得
于是 的展开式中的第3项是
 
2．解：因为在 的展开式中，各项的二项式系数与项的系数相等或互为相反数，又展开式中二项式系数最大的项有两项，分别为第六项 、第七项 ，所以系数最小的项的系数为
3．解：设展开式中第 项的系数最大，则
即 整理得
解得 
∴
故第18项的系数最大。
4．解：在
令 ，得 
令 ，得 
两式相乘得
 。
【总结提炼】
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。
板书设计
10．4 二项式定理（三）
（一）设置情境
（二）探索研究
1．“杨辉三角”的来历及规律
2．二项式系数的性质
3．例题分析
例1
例2
练习
（三）总结提炼
10．4二项式定理 第四课时
教学目标：
用二项式定理与二项式系数的性质解答一些简单问题。
教学过程：
【设置情境】
  ，是二项式展开式定理，主要研究了以下几个方面的问题：
（1）展开式。
（2）通项公式。
（3）二项式系数及其有关性质。
本节课我们就来应用它们解决一些简单的问题。
【探索研究】
例1 求 展开式的项数。
解：
 
∴ 展开式的项数是
例2 已知 的展开式中，第3项的系数与第5项的系数之比是1：4，且第4项等于－1600，求x的值。
解：由于
依题意有
 即
∴
这时
∴
解得 。
例3 求 的展开式中 项的系数。
解：在 中 项的系数为 ，常数项为1
在 中 项的系数为 ，常数项为1
故在 的展开式中 项的系数为 。
（另解）
由于积的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的积，故展开式中 项的系数为
【演练反馈】
1．已知 的展开式中x的系数为19，求：
（1）展开式中 系数的最小值；
（2）当 的系数最小时，求 的系数。
（由一名学生板演后，教师讲评）
2．已知二项式 中， 但 。若展开式中的最大系数项是常数项，求 的取值范围。
（学生练习后，教师讲解）
3．求证： 。
（学生思考后，教师讲解）
【参考答案】
1．解：（1）由已知得 ，即 ， 。
展开式中 的系数是
 且
∴当 或 时， 的系数有最小值81。
（2）当 的系数有最小值81时， ， 或 ， ，这时 的系数是  。
2．解：设展开式中第 项为常数项，由于
 
依题意有
又
∴ 代入上式得
而
∴
即展开式中第五项为常数项。
由于第五项系数最大，则
解得  。
3．证明：左边
∴
 右边
故原式得证。
【总结提炼】
二项式定理主要涉及展开式、通项公式、二项式系数或系数，要注意它们的综合运用，对于组合恒等式要分析其特点，正确地选择适当的方法。
（四）布置作业
1．已知 的展开式中的前三项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项、一次项？如果没有，说明理由；如果有，求出它们的值。
2．设  ，求 的展开式中 的系数。
3．已知数列 满足 ，是否存在等差数列 ，使 对一切自然数n均成立？并证明你的结论！
板书设计
10．4 二项式定理（四）
（一）问题引入
（二）例题分析
例1
例2
例3
练习
（三）小结
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