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| 10.5 随机事件的概率
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作者： BX
发表时间： 2005-12-13 文章出处： 中央电化教育馆
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10．5随机事件的概率 第一课时
教学目标：
初步了解随机事件及其概率的意义，了解随机事件的发生存在着规律性。
教学过程：
[设置情景]
1名数学家＝10个师
在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力。这句话有一个非同寻常的来历。
1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额。
为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后分析，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性。一定数量的船（为100艘）编队规模越小，编次就越多（为每次20艘，就要有5个编次），编次越多，与敌人相遇的概率就越大。
美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口。结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25％降为1％，大大减少了损失，保证了物资的及时供应。
在自然界和实际生活中，我们会遇到各种各样的现象。如果从结果能否预知的角度来看，可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的，即在一定的条件下，它所出现的结果是可以预知的，这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的，即在一定的条件下，出现那种结果是无法预先确定的，这类现象称为随机现象。
确定性现象，一般有着较明显得内在规律，因此比较容易掌握它。而随机现象，由于它具有不确定性，因此它成为人们研究的重点。
随机现象在一定条件下具有多种可能发生的结果，我们把随机现象的结果称为随机事件。
本单元就是用数量关系来研究、刻画随机现象的。
[探索研究]
1．随机事件
（出示投影）下列哪些是随机事件？
（1）导体通电时发热；
（2）某人射击一次，中靶；
（3）抛一石块，下落；
（4）在常温下，焊锡熔化；
（5）抛一枚硬币，正面朝上；
（6）在标准大气压下且温度低于 时，冰融化。
由一名学生回答，然后教师归纳：
在一定条件下必然要发生的事件，叫做必然事件；在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。
可让学生再分别举一些例子。
2．随机事件的概率
由于随机事件具有不确定性，因而从表面上看，似乎偶然性在起着支配作用，没有什么必然性。但是，人们经过长期的实践并深入研究后，发现随机事件虽然就每次试验结果来说具有不确定性，然而在大量重复试验中，它却呈现出一种完全确定的规律性。
例如，历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表（出示投影）
抛掷次数（ ）
正面向上次数（频数 ）
频率（ ）
2048
1061
0.5181
4040
2048
0.5069
12000
6019
0.5016
24000
12012
05005
30000
14984
0.4996
72088
36124
0.5011
我们可以看到，当抛掷硬币的次数很多时，出现正面的频率值是稳定的，接近于常数0.5，在它左右摆动。
一般地，在大量重复进行同一试验时，事件 发生的频率 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件 的概率，记做 。
对于概率的统计定义，教师应说明以下几点：
（1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；
（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件 的概率；
（3）概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
（4）概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
（5）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0。因此 。
3．例题分析
例1指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？
（1）若 都是实数，则 ；
（2）没有空气，动物也能生存下去；
（3）在标准大气压下，水在温度 时沸腾；
（4）直线 过定点 ；
（5）某一天内电话收到的呼叫次数为0；
（6）一个袋内装有性状大小相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出1个球则为白球。
（由学生口答，答案：（1）（4）是必然事件；（2）（3）是不可能事件；（5）（6）是随机事件。）
例2对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
抽取台数
50
100
200
300
500
1000
优等品数
40
92
192
285
478
954
（1）计算表中优等品的各个频率；
（2）该厂生产的电视机优等品的概率是多少？
（由一名学生板演后，教师纠正）
解：（1）各次优等品的概率为
0.8， 0.92， 0.96， 0.95， 0.956， 0.954
（2）优等品的概率是0.95。
[反馈练习]
1．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数（ ）
9
19
44
91
178
451
击中靶心频率（ ）
（1）计算表中击中靶心的各个频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
（由一名学生板演后，教师讲解）
2．问答：
（1）试举出两个必然事件和不可能事件的实例；
（2）不可能事件的概率为什么是0？
（3）必然事件的概率为什么是1？
（4）随机事件的概率为什么是小于1的正数？它是否可能为负数？
[参考答案]
1．解：（1）击中靶心的各个频率依次是：0.9，0.95，0.88，0.91，0.89，0.902
（2）这个射手击中靶心的概率约为0.90。
2．略。
[总结提炼]
1．随机事件的概念
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。
2．随机事件的概率的统计定义
在大量重复进行同一试验时，事件 发生的频率 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件 的概率。
3．概率的性质： 。
布置作业：
1．课本上P114练习1，3。
2．上抛一个刻着1，2，3，4，5，6字样的正六面体方块；
（1）出现字样为“5”的事件的概率是多少？
（2）出现字样为“0”的事件的概率是多少？
板书设计：
10．5随机事件的概率（一）
（一）引入新课
（二）随机事件
（三）随机事件的概率
（四）例题分析
例1
例2
练习
（五）小结
教案点评：
通过二战中关于随机事件概率的故事作为情景，引入随机事件的概率，激发学生的学习兴趣。分析随机事件的概念，为解决随机事件的概率做好铺垫。通过例题的分析讲解和配套的练习巩固随机事件概率的求解。
10．5随机事件的概率 第二课时
教学目标：
通过等可能性事件的概率的讲解，得到一种较简单、较现实的计算随机事件的概率的方法．
教学过程：
【设置情境】
两位同学各自进行一次抛掷硬币的实验，在抛掷1000次的情况下，统计一下出现国徽面向上的次数m，然后再计算 ，以求得抛掷硬币事件的统计概率，再把两位同学得出的结果作一比较．
师问：每位同学得到的结果是否接近于同一个小于1的正数0.5？你们是否已经感受到计算随机事件概率的繁琐性？大量重复的试验是否可以避免？
【探索研究】
1．等可能性事件的意义
对于满足下面特点的随机事件叫做等可能性事件：
（1）对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果．
（2）对于上述所有不同的试验结果，它们出现的可能性是相等的．
随机事件的概率，一般可以通过大量重复试验求得其近似值，但对于等可能性事件就可以不通过重复试验，而只通过一次试验中可能出现的结果的分析来计算其概率．
例如，掷一枚均匀的硬币，可能出现的结果有：
正面向上，反面向上
这2个．由于硬币是均匀的，可以认为出现这两种结果的可能性是相等的，即可以认为出现“正面向上”的概率是 ，出现“反面向上”的概率也是 ，这与前面表中提供的大量重复试验的结果是一致的．
2．等可能性事件的概率的计算方法（概率的古典定义）
一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 ．如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为：
从集合角度看，事件A的概率可解释为子集A的元素个数与全集I的元素个数的比值，即：
等可能性事件的概率可以用上面的公式计算．
例1 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数1，2，3，4，5，6六个数，将这个正方体玩具先后抛掷2次．
计算：（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的数之和是5的概率是多少？
解：（1）将正方体玩具抛掷一次，它落地时向上的数有6种结果，根据分步计数原理，先后将这种玩具抛掷2次，一共有：
6×6＝36
种不同的结果．
（2）在上面的结果中，向上的数之和是5的：
（1，4） （2，3） （3，2） （4，1）
4种．
（3）由于正方体玩具是均匀的，所以36种结果是等可能出现的，记“向上的数之和是5”为事件A，则：
教师点评：此例反映了计算等可能性事件的概率的方法与步骤．
例2 现有数学、语文、英语、物理和化学书各1本，从中任取1本．求取出的是理科书的概率．
解：因为有数学、语文、英语、物理和化学书各1本，共5本书，所以从中任取回本书有5种结果；
又因为理科书有数学、物理、化学书各1本，共3本，从中取出的书是理科书有3种结果．
记“取出理科书”为事件A，则
由此归纳出计算等可能性事件的概率的步骤（由学生归纳，教师补充）：
（l）计算所有基本事件的总结果数n．
（2）计算事件A所包含的结果数m．
（3）计算
【演练反馈】
1．若两个袋内分别装有写着0，l，2，3，4，5这六个数字的6张卡片，从每个袋内各任取1张卡片，求所得两数之和等于5的概率．
（由一名学生板演后，教师讲解）
2．有分别写有1，2，3，…，50号的扣张卡片，从中任取1张，计算：
（1）所取卡片的号数是3的倍数的有多少种情况？
（2）所取卡片的号数是3的倍数的概率．
（由一名学生板演后，教师讲解）
3．已知在20个仓库中，有14个仓库存放着某物品，现随机抽查5个仓库，求恰好2处有此物品的概率．
【参考答案】
1．解：记“所得两数之和等于5”为事件A．
先计算基本事件的总结果数n＝6×6＝36；
然后计算事件A包含的结果数m．两数之和等于5的有序数对有（0、5），（1、4），（2、3），（3、2），（4、l），（5、0）
∴ ；
再计算事件A的概率
2．解：（1）由
得n＝16
则所取卡片的号数是3的倍数的有16种情况．
（2）记所取卡片的号数是3的倍数”为事件A，则
3．解：
【总结提炼】
通过计算等可能性事件的概率，可以看出 既是等可能性事件的概率的定义，又是计算这种概率的基本方法．根据这个公式计算时，关键在于求出n、m．在求n时，应注意这n种结果必须是等可能的；在求m时，可采用分析法，也可结合图形采取枚举法数出部A发生的结果数．当n较小时，这种求事件的概率的方法是常用的．
布置作业：
1．课本P120习题10．5 2，3．
2．某人午觉醒来，发觉表停了．他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间短于10分种的概率．
【参考答案】1．略；2．
板书设计：
10．5 随机事件的概率（二）
（一）设置情境
问题
（二）等可能性事件的概率
1．意义 2．计算方法
（例题分析）
例1
例2
练习
（四）小结
10．5随机事件的概率 第三课时
教学目标：
等可能性事件的概率的计算公式为 ，但是通过枚举法数出n、m往往不太现实，通过本节课的学习，掌握用组合知识来计算n、m．从而得到等可能性事件的概率．
教学过程：
【设置情境】
（投影）例1 在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件，计算：
（1）2件都是合格品的概率；
（2）2件都是次品的概率；
（3）l件是合格品，1件是次品的概率．
师问：本题中的所有结果n是多少，它通过枚举法来数是否方便？
【探索研究】
1．解答例1
根据组合的有关知识，试验中的结果种数可以用组合数来表示．如：从100件合格品中任取2件，可能出现的结果为 种，从95件合格品中取到2件的结果为 种，所以例1的解法如下：
解：从100件产品中任取2件，可能出现的结果为 种．
（l）从95件合格品中取到2件的结果为 种，记“任取2件都是合格品”为事件 ，则
（2）从5件次品中取到2件的结果为 种，记“任取2件都是次品”为事件 ，则
（3）取到1件合格品、1件次品的结果为 种，记“任取2件，l件是合格品，l件是次品”为事件 ，则
2．分析例2
例2 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球．
（1）共有多少种不同的结果？
（2）摸出2个黑球有多少种不同的结果？
（3）摸出2个黑球的概率是多少？
解：（1）从装有4个球的口袋内摸出2个球，共有：
种不同的结果．
（2）从3个黑球中摸出2个球，共有：
种不同的结果．
（3）由于口袋内4个球的大小相等，从中摸出2个球的6种结果是等可能的，所以从中摸出2个黑球的概率：
【演练反馈】
1．某企业一个班组有男工7人，女工4人．现要从中选出4个职工代表，求4个代表中至少有一个女工的概率．
（由一名学生板演后，教师讲评）
2．外形相同的电子管100只，其中A类40只，B类30只，C类30只．在运输过程中损坏了3只，如果这100只电子管中，每只损坏的可能性相同．试求这3只中，每类恰有1只的概率．
（由一名学生板演后，教师订正）
3．n个同学随机坐成一排，求其中甲、乙坐在一起的概率．
【参考答案】
1．解：从11个人中选出4人可能出现的结果为 种；从11个人中选出4人至少有一个女工的结果数为 ，记“至少有一个女工代表”为事件A，则
2．解：从100只电子管中任取3只可能出现的结果为 种
损坏的3只中每类恰有1只的结果为 种，记“损坏的3只中每类各1只”为事件A，则：
3．解：
【总结提炼】
计算等可能性事件的概率时，常用到组合的知识和方法，要理解组合的概念，熟悉组合数的计算。
布置作业：课本P120习题10．5 4，5，7。
板书设计：
10．5 随机事件的概率（三）
（一）复习提问
（二）例题分析
例1
例2
（三）小结
10．5随机事件的概率 第四课时
教学目标：
熟练用排列知识去求n、m，继而算出等可能性事件的概率。
教学过程：
【设置情境】
（投影）例1 从0，1，2，3，4，5，6这七个数中，任取4个组成没有重复数字的四位数，求：
（1）这个四位数是偶数的概率；
（2）这个四位数能被5整除的概率．
师问：计算等可能性事件的概率，必需先计算n、m，在上两节课中，我们分别用枚举法和组合知识进行计算，在此题中“任取4个组成没有重复数字的四位数”以及“是偶数的四位数”等，它们的个数可以用枚举法数出来吗？可以用组合知识得到吗？应该怎么办？
【探索研究】
例1 分析：枚举法或应用组会知识可以计算出n、m．同样用分步计数原理或者排列的有关知识也可以得到n、m，在此题中由0，1，2，3，4，5，6这七个数任取4个组成没有重复数字的四位数的个数可以用排列来计算为 ．
解：组成四位数的总结果数为
（1）组成四位偶数的结果数为 ，所以这个四位数是偶数的概率
（2）组成能被5整除的四位数的结果数为 ，所以这个四位数能被5整除的概率
例2 分配5个人担任5种不同的工作，求甲不担任第一种工作，乙不担任第二种工作的概率．
解：5个人担任5种不同工作的结果数为 ；甲不担任第一种工作，乙不担任第二种工作的结果数为 ，故满足条件的概率是
例3 储蓄卡上的密码是一种四位数字号码，每位上的数字可在0到9这十个数字中选取．
（l）使用储蓄卡时，如果随意按下一个四位数字号码，正好按对这张储蓄卡的密码的概率只有多少？
（2）某人未记准储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这张卡时如果前三位号码仍按本卡密码，而随意按下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？
解：（1）由于储蓄卡的密码是一个四位数字号码，且每位上的数字有0到9这10种取法．根据分步计数原理，这种号码共有 个．又由于随意按下一个四位数字号码，按下其中哪一个号码的可能性都相等．所以正好按对这张储蓄卡的密码的概率
（2）按四位数字号码的最后一位数字，有10种按法．由于最后一位数字是随意按下的，按下其中各个数字的可能性相等．所以按下的正好是密码的最后一位数字的概率
【演练反馈】
1．一栋楼房共有4个单元，甲、乙、丙三户都住在这个楼内．求甲、乙、丙三户同住一个单元的概率．
（由一名学生板演后，教师讲评）
2．在电话号码中后五个数全不相同的概率为多少？
3．将4个编号的球放入3个编号的盒中，对于每一个盒来说，所放的球数k满足 ．在各种放法的可能性相等的条件下，求：
（1）第一个盒没有球的概率；
（2）第一个盒恰有1个球的概率；
（3）第一个盒恰有2个球的概率；
（4）第一个盒有1个球，第二个盒恰有2个球的概率．
（学生思考后，教师分析讲解）
［参考答案］
1．解：甲、乙、丙三户住这栋楼房4个单元的总结果数为 ，甲、乙、丙都住同一单元的结果数为 ．所以他们同住一个单元的概率：
2．解：
3．解：4个不同的球放入3个不同的盒中的放法共有 种．
（l）第一个盒中没有球的放法有 种，所以第一个盒中没有球的概率为：
（2）第一个盒中恰有1个球的放法有 种．所以第一个盒中恰有1个球的概率为：
（3）第一个盒中恰有2个球的放法有 种，所以第一个盒中恰有2个球的概率为：
（4）第一个盒中恰有1个球，第二个盒中恰有2个球的放法有 种，所以所求的概率：
 。
【总结提炼】
从以上等可能性事件的概率的计算中可以看到，排列、组合知识得到了充分的运用，因此，排列、组合知识是概率的基础，概率是排列、组合知识的又一应用。
布置作业：课本P120习题10．5 8，9，10，11。
板书设计：
10．5 随机事件的概率（四）
（一）设置情境
（二）例题分析
例1
例2
例3
练习
（三）小结
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