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| “加法原理与乘法原理”教学案例
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作者： 张让琛
发表时间： 2006-3-3 文章出处： 《数学教育学报》
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1 教学设计
1.1教学内容分析
“加法原理与乘法原理”是在人们大量的实践经验的基础上归纳抽象出来的基本规律，具有广泛的应用性，是培养学生数学应用意识和实践能力的良好素材。同时，也是推导排列数、组合数计算公式的理论依据。正确使用2个基本原理的前提是使学生分清楚他们的使用条件：分类用加法原理、分步用乘法原理。这2个原理也是帮助学生发展思维能力，培养学生周密思考、细心分析的良好习惯的好素材。
1.2数学情景的创设
数学问题源于情境，因此情境创设的优劣将直接影响问题的提出和提出问题的质量，。贴近学生生活情境，能够激发学生强烈的兴趣，促进学生发现其中的问题，提出问题，并乐于去解决问题[1~2]。所以，创设情境是运用“情境—问题”这一教学模式上好一堂课的关键。
笔者上这一堂课的时间是2002年6月4日上午第四节课，当时的背景是2002年韩日足球世界杯刚刚开幕。中国队进入了决赛，并且当天下午就要打第一场比赛。据估计，班上80%的学生是球迷，对足球有着浓厚的兴趣。因此，笔者设置了一下情境：
中国队进入韩日世界杯决赛，就有了小组出线乃至夺冠的机会和可能，圆了众多球迷44年的心愿。对于中国队的第一场比赛，每个人都有不同的看法和预测。谁说说你的看法和预测，你最关心什么？这个情境正是学生最关注的“谁能夺冠”及“中国队能否出线”的内容，也正好是作为引出2个基本原理的实例。
1.3课堂教学目标
根据教学大纲的要求，结合数学情境的创设，确定本节课的素质目标是：（1）知识教学目标：理解和掌握加法原理和乘法原理。（2）能力训练目标：通过分析、探究将足球赛的现实情景问题转化为加法原理与乘法原理的数学问题来解决。（3）情感、态度、价值观目标：通过对中国队能否小组出线与夺冠可能性的讨论，激发学生的学习兴趣和爱国热情，培养学生正确地面对成功、失败与挫折的良好心态。
2教学过程
2.1创设情境
师：对于本次世界杯足球赛，每个人可能有不同的看法和预测。那么，大家最关心的事什么呢？今天下午，中国队将进行本届世界杯上的第一场比赛。这节课，我们先来聊一下足球赛。
学生1：中国队能进入世界杯的决赛，我是非常高兴的。我希望中国队在本次世界杯上能取得很好的成绩，最好能进入决赛，爆出一个大冷门。
师：同学1说出了我们大家的希望，希望中国队能发挥他们的水平，赛出中国队的风格来。
学生2：对于本次世界杯，中国队的实力还达不到和世界强队竞争的水平。所以我只希望中国队能进一个球，能赢一场比赛，也就不枉进了一回世界杯。
师：这位同学对中国队的现状作了一些实力分析，态度比较保守。
学生3：足球是圆的，比赛场上什么情况都有可能发生，只要中国队能赢一场平一场，那么中国队就可以进入16强，我最关心的是“谁能夺冠”及“中国队能否出线”。
师：“夺冠”“出线”可能是在座各位最关心的问题了。（在黑板上板书——“夺冠”“出线”）
2.2提出问题
师：在足球场上，要想赢球，与教练的赛前战术布置、球员的技术发挥、比赛双方的实力对比、天气情况等各种内、外在因素密不可分的。比赛场上，什么情况都有可能发生，所以不能说中国队就完全没有出线甚至夺冠的可能。
夺冠问题——如果排除各种内、外因素，单单从夺冠的可能性来说，这次世界杯的冠军会有多少种不同的可能？
出线问题——中国所在的C组，分别以第一名、第二名身份出线的2队，有多少种不同的可能？
2.3解决问题
师：这节课我们就来解决这2个问题。
（1）夺冠问题。（右学生分组讨论解决方法，时间控制在15分钟之内）
小组1：将球队按所在的赛区可以分为6类，即6个赛区：直接晋级的3支，亚洲队2支，非洲队5支，欧洲队14支，北美洲队3支，南美洲队5支。由于无论哪一个赛区中的那一支球队都有夺冠的可能。所以一共有
N=3+2+5+14+3+5=32
种不同的夺冠可能。
师：上面这种方法可以归纳为“加法原理”：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……在第n类办法中有mn种不同的方法。那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
小组2：按照世界杯的分类，可以分为8类，即8个小组，每组4支队，每个小组内的4支球队都有夺冠的可能，则一共有
N=4+4+4+4+4+4+4+4=32
种不同的夺冠可能。
小组3：将这32支球队看成一类，这一类中有32种不同的方法，每一种方法都能独立的完成“夺冠”这件事，所以根据加法原理，一共有32种不同的可能。
（2）出线问题。（讨论时间控制在20分钟之内）
学生4：为了解决问题，可以列出各种可能，一C组为例：
一共有4×3=12种不同的可能。
师：上面这种方法可以归纳为下面要讲的“乘法原理”：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法。那么，完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
浅析这2个基本原理：
（1）共同点：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数。
（2）区别：加法原理与分类无关，要求不论哪一类办法中的那一种方法，都能单独完成这件事，每类是独立完成事情。乘法原理与分布有关，要求一次完成所有步骤后，才能完成这件事，每步是阶段性的完成事情。
所以，应用2个原理的关键在于恰当地分类或分步，使分类或分步不重复，不遗漏。换句话说，类类互斥，步步独立。
师：刚才的结论是排除了个方面干扰的，但实际问题中，要受到各种各样的因素的干扰。所以，不能仅仅根据我们算出来的结论就武断地做出结论，必须具体问题具体分析。认真而又冷静地对待比赛的结果。
3 回顾反思
这堂课受到听课教师和学生的好评，主要是因为数学情景设置的时机非常适宜。下午就要进行比赛，而上午就上这堂大家都比较感兴趣的课。
3.1创设情境是上好课的基础
为了创设好的数学情境，教师必须悉心研究教材，了解教材内容体系，了解学生的兴趣爱好、身心发展水平，选择既贴近学生生活，又紧扣教材知识内容的实际问题作为情境。
设置好数学情境，就可以自然地引导学生提出问题，并由学生自己想办法解决问题，充分发挥学生的主体作用。
3.2恰当引导学生提出数学问题
进行“数学情境与提出问题”课题研究，在上课前需要事先预想学生可能会提出的问题以及可能提出的解决方法，但是也不能忽视学生的发散思维，在讲授过程中并不是每一个环节都能按照教师预想的步骤进行，对于课堂上突发性的问题，教师要能自如地应对。比如，在讲授“夺冠问题”——加法原理时，有学生突然提出一种分类的方法：按照队员的肤色来分类，在讲课时只是一带而过：“有很多队伍中的队员肤色并不统一，他们该属于哪一类呢？这是不能确定的。分类必须具有确定性，所以这种分类不能被采用。”但是，应该抓住这个契机，在鼓励学生发散思维进行思考的同时，还应该对学生的不规范的答案进行点拨。“虽然队伍中的队员肤色不统一，但是可以通过增加条件来解决。比如，根据队长的肤色来分类，那么问题就可以解决了。”
3.3以单元大情境带动数学教学
在教学过程中，学生的思维是活跃的。学生除了提出“夺冠”与“出线”2个紧扣本课内容的问题外，还提出了其他很多有价值的问题。这些问题虽然不能在本节课中得到解决，但却是学生关心并希望自己能够解决的问题；这些问题为下一步进行排列组合的概念，排列数、组和数公式以及排列组合实际应用题作了铺垫。比如：
（1）每个小组要进行多少场比赛？这个问题可以用来解决求排列数公式的问题。
（2）中国队共有5名运动员可以踢前锋的位置，一场比赛需要2名前锋，可以有多少中出场方式？这个问题可以用来解决求组合数公式的问题。
（3）如果赢一场比赛得3分，平一场得1分，输一场得0分，那么中国队所在的C组，会有多少种得分情况。
（4）如果中国队每个位置都有2名队员可以替换上场，有多少种出场方式？
（5）若甲队员不能踢左前锋，乙队员不能踢右后卫，那么22名队员可以有多少种出场方式？
这些问题都可以作为排列组合应用题。所以，本节课所创设的“足球赛与排列组合”的数学情境，并不仅仅是一节课的情境，而是可以作为整个“排列组合”这一个单元的大环境，使教师从每节课都要找一个合适的数学情境的工作中解脱出来，选择适宜一个单元的大情境，正是我校课题组正在思考解决的问题。
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