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| 高一物理 第五章 机械振动和机械波 第一单元 简谐运动（一）
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作者： BX
发表时间： 2005-10-24 文章出处： 中国基础教育网
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一、教法建议
【抛砖引玉】
机械振动是一种比较复杂的运动，它是一种变加速运动。为了很好地理解这一运动的特点，就要运用以前学过的运动学和动力学的知识，加深对这一运动的理解。
先通过实例介绍振动，在此基础上演示几个做简谐振动的实验：如悬挂的弹簧下吊一个重球的上下振动，单摆、弹簧振子的教学仪器（如图）。设备较好的学校还可以利用气垫导轨模拟教科书上的弹簧振子，通过这些演示，使学生认识产生简谐运动的条件和振动的特点；引导学生观察振动的周期与振幅的大小无关，在气垫导轨的实验上可通过变换不同劲度系数的弹簧和振子的质量的演示，观察弹簧振子的频率是由振动系统本身的性质决定的，但不做定量分析。
在实验中引导学生观察机械振动既不是匀变速直线运动，又不是曲线运动。引导学生要对弹簧振子运动在不同位置的速度，加速度及受力情况进行分析，使学生认识到在研究这一特殊运动时，仍然依据牛顿定律，从力与运动的关系去研究机械振动的特点。所以研究本章内容实质还是对我们已掌握的规律和方法的应用。因此在研究简谐运动的同时，要注意加深对牛顿力学的规律的进一步认识和理解，要在分析简谐运动问题的过程中，提高应用已掌握的知识和方法去分析解决物理问题的能力，提高创新能力。
研究单摆的振动时，可以通过实验对比说明，单摆的运动是简谐运动。让单摆的运动和做简谐运动的物体同时投影到白墙上，这个实验一定要事先做好准备，选好适当的摆长。
对于基础较好的学生可以推导一下，证明单摆运动时也
满足F=－kx的条件。
证明：将摆球由平衡位置O点拉开一段距离，
使摆角小于5°，然后由静止释放，摆球在摆线
拉力T和重力mg共同作用下，沿圆弧在其平衡
位置O点左右往复运动，当它摆到位置P时，摆线
与竖直夹角为α，如图所示，将重力沿圆周切线方向
和半径方向分解成两个分力F1与F2，其中
F1=mgsinα，F2=mgcosα，F1与T在一条
直线上，它们的合力是维持摆球做圆周运动的向心力。
它改变了摆球的运动方向，而不改变其速度的大小。而F1不论摆球在平衡位置
O点左侧还是右侧，始终沿圆弧切线方向指向平衡位置O，正是F1
的作用下摆球才在平衡位置附近做往复运动，所以F1是摆球振动的
回复力。即：
F回=mgsinα。∵α＜5°；∴sinα ≈α= 。让同学查一下四位数学用表。
在考虑了回复力F回的方向与位移x方向间的关系，回复力可表示为：
F回= 。
对一个确定的单摆来说，m、l都是确定值，所以 为常数，即满足
F回=－kx。所以在摆角较小的条件下，使摆球振动的回复力跟位移大小成正比，而方向与位移的方向相反，故单摆的振动是简谐运动。
【指点迷津】
机械振动是我们在日常生活中常接触到的一种运动形式，小到分子、原子的振动，大到地震。其特点是物体在某一位置附近做往复运动。
你可自制一个小教具来研究一下这种运动的特点。将橡皮筋一端固定在高处，橡皮筋下端悬挂一个钩码，处于平衡，这就成了一个简单的实验仪器了，当把钩码从平衡位置轻微下拉并松手后，钩码就上下振动起来。你通过观察讨论清下面几个问题：
1.轻微下拉后，钩码受哪些力？合力指向哪？
2.当钩码上升到平衡位置上方时，钩码受哪些力？合力指向哪？
通过分析你会发现钩码偏离平衡位置上下振动过程中，总是受到一个指向平衡位置的力的作用，在这个力作用下，使钩码回到平衡位置。这个力就叫回复力。这是产生机械振动的必要条件。
要使物体能持续振动，再一个必要条件之阻力足够小。
振动物体都有平衡位置，平衡位置就是振动中物体所受回复力为零的位置，研究物体振动时，首先你必须会找到它的平衡位置。你可以分析一下单摆的摆动，比重计放在液内的上下振动等，它们的平衡位置
在哪？在研究简谐运动时，可结合对实验的
分析、有步骤地把实验过程中各物理量的
变化情况弄清楚。
先分析m在O点、A点、B点上的位移（x）、
回复力（F）、加速度(a)、速度（υ），可列表：
位移x
回复力F
加速度a
速度υ
大小
方向
大小
方向
大小
方向
大小
方向
A
O
B
在弄清各点的情况后，你再把课本P130的表格填上。
要弄清描述振动的几个物量量：速度、加速度、周期、频率、振幅。
在研究单摆时，你可以连看书，边做实验，这样不仅能加深对单摆的认识，而且可以提高你自己学习的能力。在研究单摆运动的规律时，你可以先做一个实验，用实验室演示简谐运动的弹簧振子仪器，或用气垫导轨组装的弹簧振子。再制做一个单摆，先调整摆长，使单摆的摆的摆动和弹簧振子的振动步调一致。使单摆的摆动和弹簧振子的振动两平面平行，且二者正对，用光把振动的投影到墙上，你会发现两个投影运动完全一致，所以可证明单摆做简谐运动。
掌握好单摆的周期规律后，要做好单摆的实验，掌握好测定重力加速度的这种重要方法。
二、学海导航
【思维基础】
通过以下专题，把概念弄清。
1.知道机械振动的定义及运动特点：
例：机械振动的特点是：
(1)往复性；(2)方向性；(3)惯性；(4)周期性。
分析：要抓住物体做机械振动时是围绕一个中心位置做往复运动及往复运动的周期性。
2.知道回复力是怎样的力：
例：回复力的作用是能使物体 平衡位置，它是大小 ，方向 的力（填不变或变化）。
分析：回复力总是与振动子偏离平衡位置的位移方向相反，它的作用能使振子返回平衡位置。
答案：返回，变化，变化。
3.能从具体的物理情景中判断物体的振动。
例：如图所示，一个弹性小球在A点水平抛出，在两个
相互平行的竖直平面之间运动，小球在落到地面之前的
运动是不是振动？为什么？
分析：要抓住从振动的特点出发去分析和判断。振动的特点就是围绕一个平衡位置做往复运动。你可以看出弹性球A在运动过程中不是围绕一个平衡位置做往复运动。
4.知道什么是简谐振动，其运动特点及运动的性质。
例：简谐运动是一种：
(1)匀速运动； (2)变速运动； (3)匀加速运动； (4)变加速运动； (5)匀减速运动。
分析：这要从简谐运动物体受到的回复力的特点来进行分析，F=－kx，回复力与位移成正比，是变力作用，因此简谐运动是变速度运动，当然它的加速度也是与位移成正比，方向永远指向平衡位置。加速度是变加速度。
5.能根据简谐运动的特点分析、判断运动物体是否是简谐运动。
例如：如图，弹性小球在光滑平面运动时不断与A、B两面碰撞而做往复运动，若不计阻力和碰撞时的能量损失，
则小球的运动：
(1)是振动； (2)不是振动；
(3)是简谐运动； (4)不是简谐运动。
分析：物体是否在做简谐运动，关键看其在运动过程中是否永远受一个与位移成正比，方向指向平衡位置的外力作用。
答案：(1)、(4)。
6.能从动力学角度，说明简谐运动的特点，及回复力、位移、速度、加速度等量的变化规律。
例：一个质点做简谐运动时，则：
(1)速度方向有时与位移方向相同，有时相反；
(2)加速度方向有时与速度方向相同，有时相反；
(3)回复力方向有时与速度相同，有时相反；
(4)回复力方向有时与位移方向相同；有时相反。
分析：可以结合课堂上实验去分析，质点在最大位移处向平衡位置移动时及质点从平衡位置向最大位移处移动时，位移如何变？回复力如何变？加速度如何变？速度如何变？
答案：(1)、(2)、(3)
7.能清楚地理解振幅的物理意义。
例：振动物体离开平衡位置的 ，叫做振动的振幅，它是表示振动 的物理量。
分析：这里要特别注意只有是物体离开平衡位置的最大距离时才是振动幅，振动幅越大，说明震动越强烈。
8.能清楚地理解周期、频率的定义及物理意义。
例：振动的物体完成一次 所需的时间，叫振动的周期。周期和频率都是表示振动 的物理量。它们之间的关系为f= 。
9.知道固有周期（频率）的概念。
例：物体的固有频率是由振动物体本身的 决定的，而与 的大小无关。
分析：请参阅课本132页。
10.能根据周期（频率）的定义和相互关系，进行有关物理量的计算。
例：两个弹簧振子同时开始振动，当甲振动子振动45次时，乙刚好振动40次。甲、乙两振子的周期之比为 。
分析：同时开始振动且甲振动动45次时，乙振动40次，说明二者振动的时间相同。
甲周期为： 乙周期为： 。
11.能在新的物理情景中灵活应用周期、频率。
例：甲、乙两弹簧振子的周期比为1:3，振幅之比为2:5，则每秒路程之比为：
(1) 5:6； (2) 3:10； (3) 6:5； (4) 10:3
分析：弹簧振子在一个周期内，完成的路程是四个振幅。
答案：（3）。
注：振动周期大，说明它振动的慢。
12.必须清楚地知道组成单摆的条件。
例：在细绳的一端拴上一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的 和 可以忽略，球的 比线长短得多，这样的装置叫单摆。
分析：见P133。
13.知道单摆的回复力是怎么产生的及其振动的特点。
例：单摆振动时摆球运动的回复力是：
(1)摆球的重力； (2)摆球受到的摆线的拉力；
(3)摆线对摆球的拉力和摆球重力的合力； (4)摆球重力沿圆弧切线方向的分力。
分析：请画图分析一下，可看出（4）正确。
14.知道等时性的概念。
例：在 很小的条件下，单摆的振动周期跟 没关系，这就是单摆的一个重要的性质 等时性。 答案：略。
15.理解单摆振动的规律及其周期公式：
例：单摆的振动周期跟 的平方根成正比，跟 的平方根成反比，跟摆球的 无关。
分析：掌握公式：T= .
16.能利用单摆周期公式对有关物理情景进行分析。
例：有一个单摆其周期为2秒，若将摆球质量增大为原来的2倍，振幅减为原来的1/4，则频率为 兹；若将摆长缩短为原长的1/4，则频率为 赫。
分析：首先弄清，单摆的周期与哪些因素有关，然后利用周期公式求有关量。
答案：0.5，1。
17.在变化的物理情景中，能利用单摆的周期公式进行比较、判断或计算有关物理量。
例：将周期为3秒的单摆摆长剪去5/9后，其周期将变为：
(1) 4.5秒； (2) 2.2秒； (3) 2.0秒； (4)1.33秒。
分析：剪去5/9后，摆长变为原长的4/9，这样可以利用周期的比即可求出。答案：（3）。
18.能利用单摆规律分析带摆锤时钟的走时快慢问题。
例：一个带摆的时钟，由甲地移到乙地后发现走时变快了，其变化的原因及调准的方法是：
(1)因为g甲＞g乙，将摆长适当缩短；
(2)因为g甲＜g乙，将摆长适当放长；
(3)因为g甲＜g乙，将摆长适当缩短；
(4)因为g甲＞g乙，将摆长适当放长。
分析：时钟走时快是指它的摆在相同时间内的摆动次数比准确时钟多，即周期减小了，也就是摆锤每摆动一次所用的时间变短了。这样一昼夜时间内摆动的次数增多，反映在钟面上指针指示的时间就比准确的多，就是走时快了。根据单摆周期公式T∝ 去分析不难得出正确答案为：（2）。
19.能根据单摆运动的特点，分析单摆的问题。
例：一单摆的摆长l=98厘米，在t=0时，正从平衡位置向右运动，则当t=1.2秒时，下列关于摆球的运动描述，正确的是：
(1)正向左作减速运动，加速度正在增加；
(2)正向左作加速运动，加速度正在减小；
(3)正向右作减速运动，加速度正在增加；
(4)正向右作加速运动，加速度正在减小。
分析：要想确定单摆在t=1.2秒时，单摆在作什么状态的运动。首先就得把摆球此时摆到什么位置？此时的运动方向？为了达此目的，就须知道单摆的周期，根据T= 可求出。T=2秒，根据t=1.2秒，说明摆球此时正在平衡位置的左边且向左运动之中。可分析答案：（1）。
20.知道用单摆测重力加速度的实验原理和实验步骤。
例：在用单摆测重力加速度的实验中，需采用的测量仪器有 。实验中需要直接测出物理量有 。可推导出g= 。
（卡尺、米尺、秒表；摆长l和摆动周期T； 。）
例：在这个实验中，为减小误差，尽量准确地测出重力加速度，实验中要使：
A、 。
B、 。
C、 。
D、 。
分析：实验时要做到以下几点：
A、摆绳长度远大于摆球直径，摆绳的质量远小于摆球的质量，并在悬挂后进行摆长的调速和测量。
B、最大摆角小于5°。
C、先测出单摆动30～50次的总时间，再计算出摆动周期。
D、测摆动时间要选取摆通过最低点时为计时的起止点。
【学法指要】
掌握好基础知识，并且接合实际的物理情景，能灵活运用所学知识，这是我们建立物理思维的必要过程。
例1：图示一弹簧振子，其固有周期为T，把振子从平衡位置O拉到B点后由静止释放，OB距离为振幅A。弹簧振子振动过程中，如以通过B点的时刻当计时的开始时刻，问 （1）在一个周期内，哪段时间位移为正，哪段时间位移为负？
（2）在t= 时，振子的位移和速度怎样？
（3）在t= 时振子的位移和速度怎样？
（4）振子完成一次全振动的路程是多少？
为了分析这一问题，必须弄清弹簧振子是如何运动的？运动的周期、位移是怎样的？
振子在振动过程中的位移，指的是振子离平衡位置的位移，而不是指任两时刻间的位移。振子在某时刻的位移是有确定的大小和方向的。但究竟是正还是负，这要根据所规定的正方向来确定。
分析：（1）先规定正方向：沿OB向右为正。然后看起始位置。从通过B的时刻计时。即释放瞬间为0时刻，此时，虽然振子从开始向左运动到平衡位置，但这一过程的位移都是从平衡位置指向右因此为正。过了平衡位置，振子仍然向左运动，但位移都是从平衡位置指向左，因此为负。即0—T/4时间内，位移为正，T/4—T/2时间内，位移为负。你按这种讨论法，确定一下T/2—T这半个周期内，位移的正负是如何变化的？
（2）在T/4时，振子回到平衡位置，位移为0，但速度最大，方向向左。
（3）在T/2时，振子到C点，位移x=－A，位移大小等于振幅，方向向左，速度为零。
（4）振子完成一次全振动通过的路程式为4A。
例2：甲、乙两个弹簧振子，甲完成12次全振动过程中，乙恰好完成8次全振动，求甲、乙的振动周期比和甲、乙振动频率之比。
这里要弄清什么是周期？什么是频率？周期和频率的关系。
完成一次全振动所用的时间，就是振动的周期。若甲完成12次全振动用时为t。则可知甲的周期为T甲= ；T2= ∴ ，f= ∴  =3/2
例3：如图示，两个摆长都是l的单摆A、B悬于同一点O。将摆A向左拉开解度θ（θ＜2.5°），摆B向右拉开角度2θ，同时由静止开始释放。（1）两摆球在何处相碰？（2）当两摆球的质量mA与mB为多大时，两摆球在相碰瞬间动能相等？（3）当mA与mB之比为多大时，两摆球在相碰瞬间动量的大小相等？
此题所需要的知识有：（1）单摆的周期规律；（2）机械能守恒；（3）运动学；（4）动量。
分析：（1）两摆长一样，都在同一地点，所以周期相同，因此，摆球相碰于最低点。
（2）EKA= mAυA2=mAghA
=mAgl(1－cosθ)
=2mAglsin2
∵θ＜2.5°，∴sin ≈
∴EKA=
同理： EKB= mBυB2=mBghB
=mAgl(1－cos2θ)
≈
则 mA:mB=4:1
（3）∵ mAυA2= ； mBυB2=
∴υA= A；υB=2 A
∴mAυA=mA· A；mBυB=mB·2 A
动量相等：mA A=2mB A
∴mA:mB=2:1
【思维体操】
例一：试证明悬挂的弹簧下端挂一重物，向下拉动物体，释放后物体做简谐振动。
要想证明是简谐振动，就需证明物体在摆动时受有F=－kx的回复力作用。
分析：设弹簧原长为l0，挂重物后伸长x1，向下拉物体又伸长x2。
释放物体瞬时，物体受有拉力和重力。
拉力F=K(x1＋x2)重力mg=kx1
∴物体所受合力∑F=F－mg=kx2，方向向上。
此合力即为回复力。
当物体经过平衡位置后向上运动时
物体所受合力∑F=k(x2－x1)＋mg，(当x2＞x1)
mg=kx1∴∑F=kx2指向平衡位置。
若，你自己分析一下。
∴物体满足做简谐运动的条件，这个弹簧振子是简谐振动。
例二：在北京振动周期T1=2秒的摆，拿到南京是快了还是慢了？一昼夜差几秒？如何调整？（g北=9.801米/秒2，g南=9.795米/秒2）
要弄清同一个摆为什么会有快慢之分？
摆慢了可根据什么来确定？
要想调得摆在两地一样快慢，如何办到？
分析：摆的快慢决定于摆长和重力加速度，本题是摆长一定，而重力加速度在两地不同，所以周期要改变，∵T∝ ；∵g北＞g南∴T南＞T北，因为周期长了，所以摆度慢了。
周期差：DT=T2－T1=T1( －1)
昼夜差：Dt=24×60×60×T1( －1)
=43200×2( －1)
=25.92秒≈26秒。
要想调准，必须调摆长。
分别算出：在北京的T=2秒的摆长和在南京的T=2秒的摆长。最后一减即可。
三、智能显示
【心中有数】
要掌握下面的基础知识：
1.机械振动：物体（或物体的某部分）在某位置附近沿直线或圆弧作往复运动。
2.产生机械振动的条件：
(1)当物体离开平衡位置就受到回复力作用；
(2)物体在振动过程中所受到的阻力足够小。
3.简谐运动：物体在受到大小与位移成正比，方向总跟位移的方向相反的力的作用下，物体就作简谐运动。F=－kx.
4.振幅（A）：振动物体离形平衡位置的最大距离。
5.周期（T）：物体完成一次全振动所需的时间。
6.频率（f）：振动物体在单位时间内完成全振动的次数，单位：赫兹（1/秒）
7.单摆是简谐振动，其周期T= 。
【动脑动手】
1.甲、乙两个单摆，甲摆长度为乙摆的4倍，乙摆的质量是甲摆的2倍，那么在甲摆摆动5次的时间里，乙摆摆动 次。
2.如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，
在弹性限度内，于B、C间作简谐运动，
若BC两点间距为20厘米，振动频率为
0.5赫兹，则振子的振幅为 ，
振子从B到C经历的时间为 ；取右方向
为正，由振子在B位置时开始计时，经过3秒钟，振子的位置在 ，这时振子的位移是 ，速度是 。
3.上题图示的弹簧振子，在下列哪种情况下，简谐运动的速度与加速度是同号的？
(1)由O到C运动； (2)由O到B运动； (3)由C到O运动； (4)由B到C运动。
4.一个单摆由甲地移到乙地后发现走时变快了，其变化的原因及调准的方法是；
(1)g甲＞g乙，将摆长适当缩短；
(2)g甲＜g乙，将摆长适当放长；
(3)g甲＜g乙，将摆长适当缩短；
(4)g甲＞g乙，将摆长适当放长。
5.将周期为3秒的单摆摆长剪去5/9后，周期将变为：
(1) 4.5秒；(2) 2.2秒；(3) 2.0秒；(4) 1.33秒。
【创新园地】
1.试证明比重计在水中的振动为简谐运动。
2.一昼夜快5分钟的钟，为使它走得准确，应使它的摆长增加原长的多少倍？
3.如图小车从倾角为θ的光滑斜面上滑下，挂在车上的
单摆振动的周期如何改变？在静止小车上单摆周期为T0。
答案：
【动脑动手】
1. 10次。 2. 10厘米，1秒，C点，10厘米，υ=0. 3. (3) 4. (4) 5. (2)
【创新园地】
1.提示：管截面是一定的，所以受的浮力大小与没入水中的深度变化成正比。证明略。
2.应使钟的摆长增加原长的倍数近似为0.007倍。
3. T=
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