1992年制定的义务教育数学新大纲指出:"初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法."1996年制定的全日普通高级中学数学教学大纲中也规定:"高中数学的基础知识是指:高中数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映出来的数学思想和方法."把数学知识的"精灵"(或深层知识)--数学思想和方法纳入基础知识范畴,这充分体现了我国数学教育工作者对于数学课程发展的一个共识.这不仅是加强数学素养培养的一项举措,也是数学基础教育现代化进程的必然与要求(数学基础教育的现代化并不就是要进?quot;现代数学的教学",而是要进行"数学的现代教学",要把数学基础教育"建立在现代数学的思想基础上,并使用现代数学的方法和语言.").因此,探讨数学思想方法教学的一系列问题,已成为数学现代教育研究中的一项重要课题.目前,各级各类学校已不同程度地在关注数学思想方法的教学.笔者以为如下的几个问题更应引起注意.

1明了数学思想方法教学的心理学意义

1.1

从心理发展规律看,进行数学思想方法教学是发展青少年思维的重要途径在心理学中,把婴儿、青少年的思维发展分为四个阶段:动作思维(0～3岁)、形象思维(3～7岁)、形式思维(7～13岁)、辩证思维(13～19岁).初中学生的思维是以形式思维为主向辩证思维过渡,高中学生的思维则是辩证思维的形成阶段.

而所谓思想方法,就是客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果,它是从大量的思维活动中获得的产物,经过反复提炼和实践,一再被证明为正确、可以反复被应用到新的思维活动中,并产生出新的结果.或者说思想方法就是那些颠扑不破、屡试不爽的思维产物.所谓数学思想方法,就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中,经过思维活动而产生的结果,它是对数学事实与数学理论(概念、定理、公式、法则等)的本质认识[1].例如,通过观察、比较、归纳等手段,运用符号化、结构、系统等数学思想审视实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式,就看到了它展现的数学美,以及启引的新认识.无疑地,进行数学思想方法教学,不仅有助于学生从形式思维向辩证思维过渡,而且是形成和发展学生辩证思维的重要途径.

1.2从学习的认知结构理论来看,进行数学思想方法教学对数学认识结构发展起着重要作用

学习的认识结构理论告诉我们,数学学习过程是一个数学认知结构的发展变化过程;在数学认知结构中,存在数学基础知识、数学思想方法、心理成份三种主要因素.这个过程是通过同化和顺应两种方式实现的.

所谓同化,就是主体把新的数学学习内容纳入到自身原有的认知结构中去,这种纳入不是机械的囫囵吞枣式地摄入,而是把新的数学材料进行加工改造,使之与原数学学习认知结构相适应.所谓顺应,是指主体原有的数学认识结构不能有效地同化新的学习材料时,主体调整或改造原来的数学认知结构去适应新的学习材料.在同化中,数学基础知识显然不具备思维特点和能动性,不能指导"加工"过程的进行,就象材料本身不能自己变成产品一个道理.而心理成份只给主体提供愿望和动机,提供主体认知特点,仅凭它也不能实现"加工"过程,也就象人们只有生产愿望和生产工具而没有生产产品的设计思想和技术照样生产不出产品一样.因而数学思想方法担当起指导"加工"的重担,它不仅提供思维策略(设计思想),而且还提供实施目标的具体手段(解题方法).实际上数学中的转化、化归就是实现新旧知识的同化.与同化一样,顺应也必须在数学思想方法的指导下进行,离开了数学思想方法的顺应是不可理解的,也是不可能实现的.例如,应用矩阵知识处理中学数学中的各类问题,就是运用转换思想、最优化思想、结构思想等调整、改造来进行加工的.因而,积极进行数学思想方法教学,将极大地促进学生的数学认知结构的发展与完善.

1.3加强进行数学思想方法教学,使学习者极大地提高学习质量和数学能力,使其受益终生

曹才翰先生曾指出:"如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念,则对于新学习是有利的","只有概括的、巩固和清晰的知识才能实现迁移".美国心理学家贾德通过实验证明"学习迁移的发生应有一个先决条件,就是学生需掌握原理,形成类比,才能让迁移到具体的类似学习中."学生学习了数学思想方法就有利于学习迁移,特别是原理和态度的迁移,从而可以极大地提高学习质量和数学能力.例如,学生学习了类比并对类比的思想方法有所认识时,在学习因式分解时,产生迁移,正确地辨认出数、式分解的异同点,从而真正理解因式分解.

布鲁纳认为,"除非把一件件事情放进构造好的模型里面,否则很快就会忘记.""学习基本原理的目的,就在于促进记忆的丧失不是全部丧失,而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来.高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具,而且也是明天用以回忆那个现象的工具."由此可见,数学思想方法作为数学学科的"一般原理",在教学中是至关重要的,因此,对于中学生,不管他们将来从事什么业务工作,唯有深深地铭刻于头脑中的数学思想方法将随时随地发生作用,使他们受益终生.

2提高数学思想方法教学的意识性

对数学思想方法教学缺乏意识性是一个较普遍的问题.主要表现在:制定教学目的时对具体知识、技能训练的教学要求比较明确,而忽视数学思想方法的教学要求;教学时,往往注重知识的结论,而削弱知识形成过程中思想方法的训练;知识应用时,又偏重于就题论题,忽视数学思想方法的揭示与提炼;小结复习时,只注意知识的系统整理,忽视思想方法的归纳提高……,致使数学教学停留在较低的层次上.

2.1在确定教学目的、实施教学过程、落实教学效果中,有意识地体现数学思想方法

教师要进行并加强数学思想方法的教学,首先要有意识地从教学目的的确定、教学过程的实施,教学效果的落实等各个方面来体现,使每节课的教学目的和教育目的获得和谐的统一.因而在备课时就必须把数学思想方法的教学从钻研教材中加以挖掘.例如,在备"列方程解应用题"这一节课时,就要挖掘方程思想方法和化归思想方法的教学目标.

2.2在掌握重点、突破难点中,有意识地运用数学思想方法

数学教学中的重点,往往就是需要有意识地运用或揭示数学思想方法之处.数学教学中的难点,往往与数学思想方法的更新交替、综合运用、跳跃性较大有关.因此,掌握重点,突破难点,教师更要有意识地运用数学思想方法组织教学.例如,二次根式的化简或求值是一个教学难点,为了突破难点,就要运用整体思想方法、化归转换思想方法等,采用直接或间接的手段,构造出具体形象的化、求的数学模型,实现从未知到已知的转化.如,已知x=3+23-2,求2x4-23x3+33x2-13x+4的值.显然,将x的值直接代入计算是难于实现.若把已知条件x=3+23-2=5+26视为(x-5-26)(x-5+26)=0即x2-10x+1=0的一个根,再从已知多项式中析出x2-10x+1的因式,原式变为(x2-10x+1)(2x2-3x+1)+3,则问题迎刃而解.

2.3

在小结、复习中,有意识地画龙点晴,适度点拨在课堂小结、单元复习时,适时地对某种数学思想方法进行揭示概括和强化,对它的名称、内容、规律、运用等有意识地点拨,不仅可以使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在的规律,而且可使学生逐步体会数学思想方法的精神实质.

3弄清中学数学思想方法的主要内容

3.1中学数学中的基本数学思想

3.1.1两大"基石"思想

(1)符号化与变元表示思想:换元思想、方程思想、参数思想;

(2)集合思想:分类思想、交集思想、补集思想.

3.1.2两大"支柱"思想

(1)对应思想:函数思想、变换思想、递归思想、数形结合思想;

(2)公理化与结构思想:公理化思想、结构思想、极限思想.

3.1.3两大"主梁"思想

(1)

系统与统计思想:系统思想(整体思想、分解组合思想、运动变化思想、最优化思想)、统计思想(随机思想、统计调查思想、假设检验思想、量化思想);

(2)化归与辩证思想:化归思想(纵向化归、横向化归、同向化归、逆向化归思想),辩证思想(对立统一、互变、一分为二思想).

3.2中学数学中的基本数学方法

3.3数学中的几种重要科学认识方法

(1)观察与实验;

(2)比较与分类;

(3)归纳与类比;

(4)想象;

(5)直觉与顿悟.

3.2.2数学中的几种重要推理方法

(1)综合法与分析法;

(2)完全归纳法与数学归纳法;

(3)演绎法;

(4)反证法与同一法.

3.2.3数学中的几种重要求解方法

(1)数学模型法;

(2)关系映射反演方法；

(3)构造法.

4探索数学思想方法教学的原则(规律)

进行数学思想方法的教学,必须在实践中探索规律,以构成数学思想方法教学的指导原则.

4.1揭示-渗透,"潜""显"结合

数学教学内容是由教材中的概念、法则、性质、公式、公理、定理、例题等(或称表层知识)以及由其内容所反映出的数学思想和方法(或称深层知识)组成的.教材中,除个别思想方法外,大量的、较高层次的思想方法是蕴含于表层知识之中,处于潜形态.作为教师,应该将深层知识揭示出来,将这些深层知识由潜形态转变为显形态,由对数学思想方法的朦胧感受转变为明晰、理解和掌握.这样才能根据学生实际,采取适当措施去体现思想方法的教学.

由于数学表层知识与深层知识是有机的整体,它们相互联系、相互依存、协同发展,总是以表层知识教学为载体,在表层知识教学过程中实现深层知识教学的,因而数学思想方法的教学,应当通过精心设计的教学过程,有意识潜移默化地引导学生领会蕴含的数学思想方法,即应以贯彻渗透性原则组织教学.又由于数学思想方法是表层知识本质和内在联系的反映,它具有更大的抽象性和概括性.如果说数学方法还具有某种形式的话,那么数学思想就难找到固定的形式,而体现为一种意识或观念.因此,它的教学不能一朝一夕、一招一式可以完成,而是要"潜""显"结合,长期渗透,日积月累,才能水到渠成

4.2反复-系统,螺旋推进

数学思想方法属于逻辑思维的范畴,学生对它的领会和掌握具有一个"从个别到一般,从具体到抽象,从感性到理性,从低级到高级"的认识过程.在教学中,学生对某一思想方法首先是产生感性的认识,再经过多次反复,在比较丰富的感性认识的基础上,然后逐渐概括上升成理性认识,最后在应用中,对形成的数学思想方法进行验证和发展,进一步加深理性认识.因而只有反复渗透,才能螺旋上升.

数学思想方法的教学与表层知识教学一样,只有成为系统,建立起自己的结构,才能充分发挥它的整体效益.每一思想方法,每一学习阶段都有其系统.例如化归思想方法系统,如果从思维角度考虑,又可表现为四种形式组成它的分支系统:纵向化归、横向化归、同向化归、逆向化归.又如整个基本思想方法系统,又可分为两大"基石"(符号与变元表示和集合思想方法)、两大"支柱"(对应和公理化与结构思想方法)、两大"主梁"(系统与统计和化归与辩证思想方法)等支系统[6].只有进行系统性研究与教学,掌握它们的内在结构,才能制定出各阶段教学的目的要求,也才能逐渐提高学生的认识层次,从低级到高级螺旋上升.

5把握数学思想方法教学的有效途径

在进行数学思想方法教学的各种途径探讨中,如下的几条重要途径是值得我们把握的

5.1

在表层知识发生教学过程中,适时渗透数学思想方法在教学中,表层知识的发生过程实际上也是思想方法的发生过程.象概念的形成过程,结论的推导过程,问题的发现过程,规律的被揭示过程,解法的思考过程等都蕴藏着向学生渗透数学思想方法、训练思维的极好机会.

5.1.1

展开概念--不要简单给定义概念是思维的细胞,是感性认识飞跃到理性认识的结果.而飞跃的实现要经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工,需依据数学思想方法的指导.因而概念教学应当完整地体现这一过程,引导学生揭示隐藏于概念之中的思维内核.

5.1.2

延迟判断--不要过早地下结论判断可视为压缩了的知识链,数学定理、性质、法则、公式、规律等都是一个个具体的判断.教学中要引导学生积极参与这些结论的探索、发现、推导的过程,并弄清每个结论的因果关系,最后再引导学生归纳得出结论.

5.1.3激活推理--不要呆板地找关联

激活推理就是要使已有判断上下贯通,前后迁移,左右逢源,尽可能从已有判断发生众多的思维触角,促进思维链条的高效运转,不断在数学思想方法指导下推出一个个新的判断、新的思维结果.

5.2及时小结复习,揭示、提炼概括数学思想方法

由于同一内容可蕴含几种不同的数学思想方法,而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的表层知识之中,及时小结、复习以进行强化刺激,让学生在脑海中留下深刻的印象,这样有意识、有目的地结合数学表层知识,揭示、提炼概括数学思想方法,既可避免单纯追求数学思想方法教学欲速则不达的问题,又明快地促使学生认识从感性到理性的飞跃.

5.3抓好运用,不断巩固和深化数学思想方法

在抓住学习重点、突破学习难点及解决具体数学问题中,数学思想方法是处理这些问题的精灵,这些问题的解决过程,无一不是数学思想方法反复运用的过程,因此,时时注意数学思想方法的运用既有条件又有可能,这是进行数学思想方法教学行之有效的普遍途径.数学思想方法也只有在反复运用中,得到巩固与深化.