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| 让学生在做数学中经历、应用和创造数学
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作者： 毛世浓
发表时间： 2005-10-14 文章出处： 摘自：《小学数学教师》
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美国数学家哈尔莫斯指出： “ 学习数学的唯一方法是做数学。 ” 研究表明：人们在学习时，如果仅靠听和看最多能吸收 30% 的新知，如果动手做的话，可以达到 90% 以上。如今《数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）给我们勾画出了数学课程改革的框架。《标准》指出转变学生的学习方式，使学生在活动中、在现实生活中学习数学、发展数学是当前我国教育改革的基本思路之一。它要求教师在教学中应该根据学生、教学内容、教学环境的具体情境营造一种现实而有吸引力的学习背景，让学生在自然的情境中，在教师的帮助下，在 “ 做 ” 的过程中积累丰富的直接经验，主动参与数学知识的发生、发展和形成过程，理解和掌握数学思想、知识和方法，感受数学创造的乐趣，体验成功的喜悦，促进学生个性发展。本文以《分数的初步认识》一课的三个教学片断为例，谈谈在新课程理念的指导下，如何让学生通过观察、模仿、联想、猜想、尝试、检验等多种活动，动口、动脑、动手、动情，在做数学中经历数学、应用数学、创造数学，促进学生全面、持续、和谐地发展。
一、让学生在生活原型中做数学 ---- 经历数学
陶行知说过： “ 生活即教育。 ” 生活本身就是一个巨大的数学课堂，学习应是儿童自己的生活实践活动。小学数学教育应真正地回归到儿童的生活中去，教师要善于结合课堂教学内容捕捉生活现象，采撷生活实例，把学习与儿童自己的生活充分地融合起来，让学生感受到数学处处与生活同在；教师要善于引导学生利用生活原型，经过自己的实践与反思上升到数学知识，也就是让学生在做数学中亲身经历一个 “ 数学化 ” 的过程，从而让学生真正获得充满生命力的数学知识，体验数学创造的无穷乐趣。
教学片断实录一：从熟悉的树叶中经分数 1/2 的形成。
师：同学们，昨天老师请大家采摘了一些树叶，请把你的所有树叶分成 2 份吧！
生 1 ：我共采了 5 片树叶，把它们分成两份，一份 2 ，一份 3 片。
生 2 ：我把 8 片树叶平均分成两份，每份都是 4 片。
生 3 ：我把 12 片树叶分成两份，左边 8 片，右边 4 。
……
师：想一想，简而言之，其实有几种分法？
生：我觉得大家的分法可以归为 “ 平均分 ” 和 “ 不平均分 ” 两种。
师：你概括得既简洁又漂亮！请问这两种分法有什么不同？
生：把一些树叶分成两份，只有每份片数相同，才叫平均分。
师：下面就请大家再来试试平均分。请你取出一片树叶，把它平均分成两份，怎么分？每份是多少？
（学生绕有趣味地动手做起来。）
生：我发现树叶中间的一条叶脉正好把一片树叶平均分成了两份，每份是半片。
许多学生异口同声：哈！跟我做的一样！
师：大家都想到一块儿去了！半片能用学过的整数表示吗？
生：我知道，半片可以用分数 1/2 表示！
师：你真聪明！分数就是我们今天要来认识的数家族中的一位新朋友。
请大家用左手举起 1/2 片树叶来，它表示什么？
生（齐）：把一片树叶平均分成两份，每份就是这片树叶的 1/2 。
师：请用右手举起还剩下的半片树叶，你发现 ……
生 1 ：我发现右手拿的也是 1/2 片树叶。
生 2 ：我发现 2 个 1/2 片树叶合起来是一整片树叶。
生 3 ：老师，我有个疑问，大家举起的同样都是 1/2 片树叶，为什么形状、大小各不相同呢？
生 4 ：这不是很好解释嘛！我把我的一片树叶平均分成了两份，每份是我的片树叶的 1/2 ；你把你的一片树叶平均分成了 2 份，每份是你的这片树叶的 1/2 。只要把一片树叶平均分成两份，每份就是这片树叶的 1/2 。（生们都不住地点头）
师：嗯！你的精彩评述赢得了全班同学的赞许，太棒了！我们已经知道一片树叶的一半可以用分数 1/2 表示，那么生活中还有什么也可以用 1/2 来表示呢？
生 1 ：我想把一个苹果平均分成两份，每份就是这个苹果的 1/2 。
生 2 ：假如沿着人的鼻子画一条直线，正好把人体平均分成两份，每份是整个人体的 1/2 。（生 2 边说边在自己上比划，学生们都情不自禁地笑了。）
生 3 ：我发现，当 6 点钟时，沿着分针和时针画一条直线，正好把钟面平均分成了两份，每一份是整个钟面的 1/2
生 4 ：把我穿的一双鞋子平均分成两份，每份也就是其中的一只，就是这双鞋子的 1/2 。（同学们都笑着看起了自己的鞋子。）
……
师：同学们对生活的观察真仔细啊，生活中可以用分数 1/2 表示的事物还真不少，看来分数就我们身边啊！
在整数里最基本的概念是数的十进制和位值制，而分数和整数不一样，它的基本思想是均分，可见分数是数的概念的一次重要拓展。因此学好分数认识的第一课，尤其是引导学生在生活情境中亲身经历分数 1/2 的形成至关重要。《标准》对《分数的初步认识》一课的要求是： “ 能结合具体情境，初步理解分数的意义，能认、读、写简单的分数。 ” 于是我大胆突破现行教材的束缚，经过对生活的深入观察，帮助学生寻找富有生成性和开放性的数学学习素材来建构分数 1/2 的概念。课前我请每一位学生走进大自然采集各种对称的树叶，使他们对这些生活中司空见惯的东西产生 “ 难道它们里面也有数学秘密？ ” 的悬念，激起求知的欲望。上课时，我让学生把各自带来的所有树叶分成两份，根据学生的交流，自然概括出两种不同分法：平均分和不平均分，以强化学生对平均分的深刻理解，为学习分数埋下伏笔。然后我让学生继续探索把 1 片树叶平均分成两份，怎么分？每份是多少？学生通过对树叶自然对称的观察，成功地把一片树叶沿中间叶脉平均分成了 2 份，通过动手做，初步经历了分数 1/2 的形成过程。受到树叶原型的启发，学生的思维起了阵阵涟漪，他们忙不迭地在生活中寻找 1/2 ，创造性提出 “ 平分人体 ” 、 “ 平分钟面 ” 、 “ 平分 1 双鞋子 ” 等精妙见解。就这样，学生在成功与喜悦中积累了分数的丰富表象，有效地消除了对分数概念的抽象感和陌生感，深深地感受到数学原来就这样丰富多彩地存在于生活当中。这样的数学学习又怎能不让人留连忘返呢？
事实证明，教师只有将数学与跟它有关的现实世界背景联系在一起，也就是只有通过 “ 数学化 ” 的途径来进行数学教学，学生获得的知识才是生动具体、美丽鲜活的，他们才会真正寻觅到生活就是数学知识的不竭源泉，才会深刻体会到数学的巨大价值和无穷魅力！
二、让学生在综合实践中做数学 ---- 应用数学
数学离不开生活，生活也离不开数学。数学知识源于生活而又最终服务于生活。可见，数学的生命力就在于能有效地解决现实世界向我们提出的各种问题。《标准》十分重视数学知识的综合应用，新增了 “ 实践与综合应用 ” 这个学习领域，并从关注人的发展的高度指出： “ 让学生初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识，了解数学的价值。 ” 所以，我们应引导学生开展多姿多彩的综合实践活动，让学生在做数学中丰富对数学的认识，体验数学与生活的联系，感受数学的价值与作用，形成应用数学的意识，增强应用数学的信心，提高解决问题的能力和创造力。
教学片断实录二：从美丽的剪中发现分数的应用价值。
（教师在磁性黑板上依次出示 5 幅色彩绚丽的剪纸图案，学生们惊奇地欣赏着。）
生：老师，你剪得太了！你是怎么剪出来的？
师：用你的火眼金睛仔细观察呀！剪纸真经在里面呢！
（学生们开始小组讨论起来，有的学生开始折起了长方形、正方形、圆形的各色彩纸。）
生 1 （指图 1 ，图 1 略）：我明白了！只要先折出一张长方形纸的 1/2 ，再在上面剪出一只蝴蝶的 1/2 ，展开来就是整只蝴蝶了。
生 2 （指图 3 ，图 3 略）：我先折出一张长方形纸的 1/3 ，再在上面剪出整幅图案的 1/3 ，开来就成了一整幅花朵图案。
生 3 （指图 2 ，图 2 略）：我先折出一张正方形纸的 1/2 ，再在上面剪出红双喜的 1/2 ，展开来就是一整个红双喜了。
生 4 ：我认为红双喜有更方便的剪法只要先折出一张纸的 1/4 ，再在上面剪出整个红双喜的 1/4 ，展开来就是一个红双喜了。
师：嗯，你的方法更巧妙！
生 5 （指图 5 ，图 5 略）：我先折出一圆形纸的 1/8 ，再在上面剪出一片叶子，展开来就是一幅由 8 片叶子组成的完整图案了。
师（指图 4 ，图 4 略）：怎么没人抢着说这条鱼的剪法呢？
生 6 （搔搔头皮）：由于这条鱼剪得不对称，不能用分数朋友帮我们简单解决问题，真的让我剪起来，麻烦就大了！
生 7 ：是啊！我觉得用折纸法剪图案又简便又美丽，只要先折剪出整幅图案的几分之一，展开来就是几个几分之一，太神奇了！老师，让我们也来试一试吧！
师：好吧！就让我们用数去创造美丽吧！
（学生们纷纷动手操作，不一会儿，他们开始欣喜地向大家展示自己的作品。）
生 1 ：我先折出了一张圆形红纸的 1/10 ，在上面斜剪一刀，展开后变成了一个大大的红星！分数真伟大！
生 2 ：我先折出一张白色长方形纸的 1/6 ，在上面剪了一只小白兔，有趣的是，展开来后，我的眼前出现了 6 只可爱的小弊兔。
生 3 ：我先出了一张粉红色正方形纸的 1/16 ，在上面剪了一片花瓣儿，啊！展开来后成了一朵漂亮的大红花！
师：看来，我们的分数朋友真管用，让我们努力地学好它，让它更多地为我们的生活服务吧！
为设计这一教学片段，我充分挖掘数学的文化和生活底蕴，巧妙地把数学与美术紧密和谐地结合起来，根据学生的年龄特征、知识基础和生活经验，选用剪纸这种广为流传的民间艺术素材，开展了一次综合实践活动，让学生从欣赏、探索、讨论、操作等一系列活动中，趣味盎然地经历寻找、发现、认识、掌握和应用数学的全过程，激发了灵感和潜力，拓宽了知识视野，使学生体验到了数学应用的广泛性和深刻性，促进了学生认识的整体性发展。数学学习的价值不正是如此吗？
爱因斯坦说过： “ 教育应当使所提供的东西，让学生作为一种宝贵的礼物来领受，而不是作为一种艰苦的任务要他去负担。 ” 由上面一个教学片断可以看出，在数学课堂上开展多样化的综合实践活动无疑是学生乐于接受而又能促进学生发展的 “ 宝贵的礼物 ” 。
三、让学生在开放学习中做数学 ---- 创造数学
陶行知先生说过： “ 时时有创造，处处有创造，人人有创造。 ” 数学学科，作为思维体操学科，讲究严谨的逻辑，更需要探索和创造。荷兰数学教育家弗赖登塔尔也指出： “ 学习数学唯一正确的方法是让学生实行 ' 再创造 ' ，也就是由学生本人将要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导帮助学生进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生。 ” 可见要让学生实行 “ 再创造 ” ，必须彻底改变传统数学课堂中老师教学生听、老师讲学生练的被动学习状况，应该在开放的数学课堂教学中充分发挥学生的主体性，最大限度地发掘学生的学习内驱力，促使学生由被动学习变为主动学习，由学数学变为做数学，成功地发现或创造数学，感悟数学思想方法。
教学片断实录三：从有趣的魔术中创造神奇的分数。
课前，每位学生准备一大一小两个正方形（图 1 、图 2 略）。
师：这节课我们已经认识了许多分数友。下面我们玩个小魔术，看谁能从我们准备的正方形（教师在磁性黑板上贴上图 1 、图 2 ）中找到新的分数朋友？
生 1 ：把这个小正方形平均分成 9 份，阴影部分是它的 4/9 ，空白部分是它的 5/9 。
2 ：把这个大正方形平均分成 16 份，阴影部分是它的 4/16 ，空白部分是它的 12/16 。
生 3 ：把这两个正方形拼成一个大图形，把它平均分成 25 份，阴影部分占整个图形的 8/25 ，空白部分占 17/25 。
师：同学们说得真不错！摆一摆，找一找，还能发现新的分数朋友吗？
（教室里一片静，学生们开始摆弄手里的两个正方形细琢磨起来。）
生 4 （演示图 3 略）：老师，我可以把两个正方形部分重叠，得到一个新的图形，阴部分占它的 6/19 ，空白部分占它的 13/19 。
生 5 ：对！我也想到了用重叠法，得出阴影部分占整个图形的 4/16 。
生 6 ：我也找到了新的分数朋友 6/23 和 17/23 。
生 7 ：还有 7/24 和 17/24 。
（学生们边操作，边兴奋地诉说着自己发现。）
师：同学们发现了那么多的分数朋友，真有本事！你还与众不同的方法创造新分数吗？
生 8 （演示图 5 略）：老师，我这样拼，阴影部分应该占整个图形的 5/16 吧！
师：你的直觉真灵敏
生 9 （演示图 4 略）：小正方形反面是空白的，我把大正方形正面和小方形反面拼起来，阴影部分占整个图形的 4/17 。
生 10 （立刻反驳）：把一个图形平均分成 17 份，其中的 4 份才是整个图形的 4/17 ，你现在又没有平均分！
生 11 ：对！我觉得应该是 4/25 。
师（露出惊讶的目光）：为什么？
生 11 ：应该把小正方形也平均分成 9 份，那么整个新图形就平均分成了 25 份，阴影部分不是占 4/25 嘛！
（教室里掌声响起。）
生 12 ：我还有的发现。我把我和同桌的两个小正方形看作两个饼，铺开拼成一个长方形大饼，阴影部分占整个大饼的 8/18 ，如果我把它们上下重叠起来，阴影部分占整个大饼的 4/9 ，所以我猜想分数 8/18 和 4/9 相等吧！
师：咳！你真的像数学家一样了不起啊！
生 13 ：假如我把全班 60 名同学的所有正方形看作地砖，用来铺地面，那么阴影部分占铺成的整个地面的 480/1500 。
师：你的想像真丰富！
……
师：分数真奇妙啊！小小的两个正方形竟然可以创造出那么多有趣的分数，看分数的学问还真不小呢！
这一教学片断是对分数认识的巩固、深化与拓展。我一改传统教学反复机械地进行题海训练的方法，取而代之以富有开放性、趣味性、挑战性的游戏活动，让学生在活中创造数学。
1 、情境开放，萌发创新意识。
创造需要心灵的放松。情绪心理学研究表明：快乐、兴奋的情绪与温和、宽松的学习环境，对认知创新思维活动具有扩散、强化的功能。因此，我以一大一小两个正方形为道具，以学生喜闻乐见的魔术形式，创设了一个民主、放的学习情境，让学生在无拘无束、心情愉悦、精神振奋的状态下，打开思维的闸门，萌发创造力。
2 、形式开放，激活创新思维。
富有 “ 动态生成 ” 的课堂是课堂教学改革想努力达到的境界。一个真实的教学过程是一个师生、生生积极有效互动、动态生成的过程。因此，在这一教学片断中，我努力开放教学形式，凸现学生在课堂上的主体地位，围绕 “ 找新的分数朋友 ” 这个问题情境，学生可以用尝试猜测、自主探索、动手实践、合作交流等途径解决问题，可以用想象、猜想、直觉、顿悟等方法另辟蹊径。让每一位学生在数学大舞台上展示激情、智慧和个性，这样学生的创造火花就会不断闪现，时时流露。如学生从两个正方形中找到了 4/9 、 4/16 、 8/25 等分数后，一位学生用重叠法创造出了新分数 6/19 和 13/19 ，一石激起千层浪，他的发现激活了全班同学的创新思维，大家的思维亮点聚集在一起发挥，智慧汇拢到一处碰撞，从而推动了数学课堂走向丰富、鲜活与深刻， 4/16 、 6/23 、 7/24 等新的分数在学生心中跳了出来 …… 可喜的是学生们没有停留在这个思维层面上，又有了新的发现，他们在透彻理解分数含义后，利用两种不同正方形的正反面创造了新的分数 4/25 。更有甚者，一位学生利用两个大正方形，通过铺开与重叠两种不同摆法，大胆地提出 8/18 与 4/9 相等的猜想。整个教学片断异彩纷呈，每个学生都达到了 “ 既竭我才，欲罢不能 ” 的地步，从而使每个学生的智慧、能力、情感、信念等不断得到提升和超越，心灵受到震撼，心理得到满足。
总之，小学数学课堂教学要摆脱机械沉闷、纯形式化的模式，走向生活，让学生在做数学中再现数学的基本过程，再现数学与大自然和人类社会千丝万缕的联系。这样，我们的数学课堂必将成为每一个孩子陶醉的乐土，我们的数学教育必将促进学生的终身可持续发展。
主要参考书目
1 、刘兼、孙晓天主编：全日制义务教育课程标准解读（实验稿），北京师范大学出版社， 2002 年 5 月。
2 、中华人民共和国教育部：全日制义务教育数学课标准，北京师范大学出版社， 2001 年 10 月。
3 、孔企平、胡松林：新课程理念与小学数学课程改革，东北师范大学出版社， 2002 年 7 月。
4 、新课程实施过程中培问题研究课题组编写：新课程的理念与创新，北京师范大学出版社， 2001 年 9 月。
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