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| 人教实验教材八年级（上）各章节分析
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作者： 课程教材研究所 田载今
发表时间： 2005-9-3 文章出处： SXTD
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第十一章“一次函数”简介
一、教科书内容和课程学习目标
（一）教科书内容
本章的主要内容包括：变量与函数的概念，函数的三种表示法，正比例函数和一次函数的概念、图象、性质和应用举例，用函数观点再认识一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组。
全章共包括三节：
11．1 变量与函数
11．2 一次函数
11．3 用函数观点看方程（组）与不等式
其中，11．1节是全章的基础部分，11．2节是全章的重点内容，11．3节是引申的内容。
函数的概念是数学中极为重要的基本概念，它的抽象性较强，接受并理解它有一定难度，这也是本章的难点。
变化与对应的思想体现在函数概念之中，用运动变化的眼光，以函数为工具，从数量关系和图象两方面动态地分析问题，是本章学习的特点。
（二）本章知识结构框图
（三）课程学习目标
本章内容的设计与编写以下列目标为出发点：
1．以探索实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型；
2．结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系；
3．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题；
4．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系。
（四）课时安排
本章教学时间约需15课时，具体分配如下（仅供参考）：
11．1 变量与函数 5课时
11．2 一次函数 5课时
11．3 用函数观点看方程（组）与不等式 3课时
数学活动
小结 2课时
二、本章的编写特点
（一）反映函数概念的实际背景，渗透“变化与对应”的思想
在建立和运用函数这种数学模型的过程之中，“变化与对应”的思想是重要的基础，所谓变化与对应的思想包括两个基本意思：
1．世界是变化的，客观事物中存在大量的变量；
2．在同一个变化过程中，变量之间不是孤立的，而是相互联系的，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化，这些变化之间存在对应关系。
函数是数量化地表达变化与对应思想的数学工具，变化规律表现在变量（自变量与函数）之间的对应关系上，函数通过数或形定量地描述这种对应关系。变化与对应思想正是本章内容中蕴涵的基本思想。
人的认识过程是波浪式前进、螺旋式上升的。学习数学中的一个重要的基本概念，需要分阶段地完成，逐步深化认识程度。本套教科书将对代数函数的学习分三章安排，即八年级上学期学习第十一章“一次函数”，八年级下学期学习第十七章“反比例函数”，九年级下学期学习第二十六章“二次函数”。在学习这些内容之前，分别安排了学习一次方程（组）、分式方程和一元二次方程，即按代数运算类型划分阶段，将函数作为方程的后续内容。
本章是学习函数的第一阶段，其教学目标如前所述，重点在于初步认识函数概念，并具体讨论最简单的初等函数──次函数。本章教科书力求能在具体的数学内容中渗透体现变化与对应的思想，使学生能潜移默化地感触体会函数内容中最基本的东西，在对数学思想方法的学习方面有所收获。
本章在学生对一元一次方程、二元一次方程组和一元一次不等式等以一次（线性）运算为基础的数学模型的已有认识上，从变化和对应的角度，对一次运算进行更深入的讨论。
教科书在进入专门对一次函数的讨论之前，安排学生先了解函数的一般概念。第11．1节首先从5个具有实际背景的问题入手，引导学生通过填表和列式表示问题中相关的量，从中认识常量和变量的主要特征，学会区别它们。接着，教科书通过“归纳”栏目总结出这些问题中变量间关系的共同特点，即问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一变量有唯一确定的对应值。教科书又继续用心电图、人口统计表等问题对这种变化与对应关系进行了补充和强化，这也为后面的函数表示法写下伏笔。在此基础上，教科书第一次给出了函数的一般概念以及自变量、函数值等概念。教科书中给出的函数定义是突出变化与对应的，其中主要有两层意思：
1．两个变量互相联系，一个变量变化时另一个变量也发生变化；
2．函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。
这是关于函数的最基本、最朴素的刻画。这一节的最后部分重点讨论了函数图象的概念，图象是直观地描述和研究函数的重要工具。三种常见的函数表示法，即列表法、解析式法和图象法，是反映函数的三种不同形式。
（二）从特殊到一般地认识一次函数
人们认识事物往往经历“从特殊到一般”的过程，教科书对本章重点内容的安排正是按照这样的过程展现的。
在对函数概念初步讨论后，教科书转入对一种具体的初等函数的讨论，第11．2节的标题“一次函数”点出了这一节的核心对象。这一节首先从讨论正比例函数开始，正比例函数是特殊的一次函数，即 中 的类型。对正比例函数的定义、图象和性质的讨论，可以为讨论一般的一次函数奠定基础。
在分析具体问题时，教科书注意了引导学生利用事物之间的联系从特殊到一般地认识问题，例如讨论一次函数的图象时，教科书先对比函数 和 的区别，由直线 的平移变换过渡到直线 ，然后再得出由两点确定直线的一般方法。采用这种处理方式能够展示解决问题的一种基本策略，即“先特殊化、简单化，再一般化、复杂化”的做法。
（三）用函数观点回顾与审视相关内容，加强知识体系的构建
在学习过程中，人们需要不断地提高认识问题的水平，这包括对过去已认识过的事物的再认识，也包括对新认识的事物与已认识的事物之间的联系的认识。这种认识水平的提高，是构建知识体系的过程中不可缺少的。
本章最后的第11．3节“用函数观点看方程（组）与不等式”，从函数的角度对前面学习过的一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组重新进行了分析，这种再认识不是原来水平上的回顾复习，而是站在更高的起点上的动态分析。用一次函数可以把上述三个不同的数学对象统一认识，由此可见函数的重要性。“水涨船高”，随着知识积累的增加，认识事物的水平也会相应提高。“站得高看得远”，通过学习本节内容，不仅可以加深对方程（组）与不等式等数学对象的理解，而且可以加大对已经学过的相关内容之间的联系的认识，加强知识间横纵向的融会贯通，提高灵活地分析解决问题的能力。这也从一个侧面反映了函数概念的作用。
（四）注重联系实际问题，体现数学建模的作用
世界是运动变化的，函数是研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际又服务于客观实际。本章教科书中实际问题贯穿于始终，它们中有些是作为函数的实际背景，为降低学习抽象概念的难度服务的。例如，在引入函数概念时，教科书通过对一系列实际问题中变量间关系的分析与描述，归纳出一般性的规律要点，得出函数的定义。这样的过程是由具体到抽象，由特殊到一般的过程，是以实际问题抽象为数学模型为线索的展现过程。有些实际问题是作为应用举例体现函数的广泛的应用性，为培养应用数学解决实际问题的意识和能力服务的。例如，第11．2节中的例6就是这样的问题，它是一个选择最优方案的实际问题，可以归为线性规划的初级问题。要解决这个问题，需要先确定影响总运费的最关键的变量，再列出表示总运费的函数解析式，然后分析这个解析式或相应的图象，找出总运费的最小值。分析和解决这个问题的过程，对体现数学建模的作用具有比较典型的意义。
本章的数学活动中，安排了根据表格中实际问题的数据信息用函数进行预测估计或选择方案的问题。安排这些问题的目的在于：一方面通过实际生活中的问题，进一步突出函数这种数学模型应用的广泛性和有效性；另一方面使学生能在解决实际问题的情境中运用所学数学知识，进一步提高分析问题和解决问题的综合能力。本章在学生已有的建立方程或不等式这样的数学模型的基础上，继续重视数学与实际的关系，在建立函数这种应用更广泛的数学模型的过程中继续体现建模思想。
此外，教科书对于数学与其他科学技术的联系也予以关注。例如，“阅读与思考科学家如何测算地球的年龄”中，介绍了放射性物质蜕变过程中指数函数变化曲线对确定半衰期的作用等。编者希望学生通过学习本章不仅进一步学习数学，而且也能扩大对相关科技知识的了解。
三、几个值得关注的问题
（一）重视数学概念中蕴涵的思想，注意从运动变化和联系对应的角度认识函数
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，世界永远是处于运动变化之中的，因此无论是数量关系中还是空间形式中都充满了有关运动变化的问题。函数正是研究运动变化的重要数学模型，它反映的是变量之间的对应规律，它对研究数量关系的作用是十分显然的。由于空间形式可以代数化（解析几何的产生就是典型例证），所以在对于空间形式的研究中函数也能发挥巨大作用，数学史的发展对此有充分的证明，函数在当今数学的各个领域都是极为重要的角色。
函数概念来源于客观实际需要，也来自数学内部发展的需要。它是以变化与对应的思想为基础的数学概念。怎样认识函数概念呢？学习函数概念不能只注重背记定义而不关注它的实质，要使学生理解定义的真正含义，即函数概念的实质就是运动变化与联系对应。使学生了解对于许多客观事物必须从运动变化的角度研究，许多问题中的各种变量是相互联系的，变量之间存在对应规律。变量的值之间存在对应关系，其中就有单值对应关系，刻画这种关系的数学模型就是函数。本章所讨论的是最简单、最基本的函数，但是函数不分简单还是复杂，在本质上都是上面所说的那样的数学模型。作为关于函数的初始教学，应有意识地体现函数的本质，这正是本章内容中蕴涵的基本思想。当然，对于运动变化与联系对应的思想的认识也是需要逐步理解的，所以教学中应注意在不同阶段对这一思想的渗透介绍要有不同的做法和要求，要逐步深化，要从具体到抽象，从特殊到一般地引导学生认识它。
本套教科书在本章中首次正式出现函数概念，通过本章教学，学生应对函数形成初步的正确认识，即认识到虽然函数的表示方法有多种，因问题不同函数的具体形式可以形形色色，但是各种函数都是反映变化规律的数学工具，现在学习的函数都是刻画同一个变化过程中两个变量之间的对应关系的模型，对于同一类问题可以用同一类函数进行研究（例如用一次函数研究线性规划问题）。
（二）借助实际问题情景，由具体到抽象地认识函数；通过函数应用举例，体现数学建模思想
现实中存在大量问题涉及具有简单函数关系的变量，其中许多问题中的数量关系是一次（也称线性）的，这为学习本章内容提供了大量的现实素材。在本章教科书中，实际问题情境多次出现，其作用主要体现在以下方面：
1．引入或解释函数等概念，例如通过候鸟飞行问题引入正比例函数，通过登山问题引入一次函数，通过第11．1节中一系列具体例子解释变量间的对应关系等，这样做的目的是借助直观的、具体的事物为理解抽象的内容服务。
2．作为函数的应用举例，例如第11．1节中例4的水位预测，第11．2节中例6的运输规划等，它们都可以体现数学建摸思想，反映函数的广泛应用性。
本章明确提出“为了更深刻地认识千变万化的世界，人们经归纳总结得出一个重要的数学工具──函数，用它描述变化中的数量关系。函数的应用极其广泛。”在本章的教学和学习中，要充分注意有关现实背景，通过它们反映出函数来自实际又服务于实际，加强对函数是解决现实问题的一种重要数学模型的认识。
找出问题中相关变量之间的关系，并以数学形式表现这种关系，是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确地理解问题情境是基础。在本章的教学和学习中，可以从多种角度思考，借助图象、表格、式子等进行分析，寻找变量之间的关系，检验所建立的函数的合理性。教师还可以结合实际情况选择更贴近学生生活的各种问题，引导学生用函数分析解决它们。
（三）重视数形结合的研究方法
本章所讨论的对象是函数，函数的表示法之一是图象法，即通过坐标系中的曲线上点的坐标反映变量之间的对应关系。这种表示方法的产生，将数量关系直观化、形象化，提供了数形结合地研究问题的重要方法，这在数学发展中具有重要地位。恩格斯说：“笛卡儿变数的出现，是数学中的一个转折点，从此运动和辩证法进入了数学。”
在本章的教学和学习中，不能仅仅着眼于具体题目的解题过程，而应不断加深对相关数学思想方法的领会，从整体上认识问题的本质。以前我们曾多次提到数学思想方法是通过数学知识的载体来体现的，而对于它们的认识需要一个较长的过程，既需要教材的渗透，也需要教师的点拨，最后还需要学生自身的感受和理解。结合本章内容可以对数形结合的方法顺势自然地理解，并逐步加以灵活运用，发挥从数和形两个方面共同分析解决问题的优势。教学过程中，在函数解析式与图象的结合方面应有细致的安排设计，注意两者的互补作用，体现两者的联系，突出两者间的转化对分析解决问题的特殊作用。学习了本章之后不仅要知道有关函数的图象，更要体验图象的作用和数形结合的方法。数学思想方法是具体的数学知识的灵魂，数学思想方法对一个人的影响往往要大于具体的数学知识。
（四）加强对知识之间内在联系的认识，体会函数观点的统领作用
设计本章教科书的内容和结构时，注意了函数与以前所学习的其他代数知识的关系，力求能够在发展和构建一个较好的知识体系方面起到一定引导作用。为此，本章安排了第11．3节“用函数观点看方程（组）与不等式”，用函数的观点对前面学习过的一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程（组）重新进行了分析。教学中应能感受到这种再认识不是原来水平上的回顾复习，而是站在更高处进行动态的分析。教师需要明确安排这一节的目的，把握这些内容的要求尺度。教科书的设计者希望能通过这些内容的教学，加强知识间横向和纵向的联系，发挥函数对相关内容的统领作用，使学生能用一次函数可以把以前学习的方程和不等式等不同的数学对象统一起来认识，逐步达到新旧知识的融会贯通，进一步体验函数的重要性，提高灵活地分析解决问题的能力。
由于本章最后部分是以新带故的内容，其中多数内容学生并不生疏，所以这部分内容很适合探究式学习方式，希望教学中注意加强学习的主动性，注意鼓励学生积极探究，教师为启发诱导设计必要的铺垫，让学生能在经过自己的努力来体验知识间的内在联系。
从特殊到一般地认识问题，是学习的一种途径。本章在讨论一次函数时，教科书在函数解析式、图象、性质等问题上，注意了对比函数 和 的区别，并对这些问题进行了由特殊到一般的讨论。教学中应注意这种安排的前后联系，体现解决问题时“先特殊化、简单化，再一般化、复杂化”的基本策略。
（五）注重对于基础知识和基本技能的掌握，提高基本能力
本章中函数的基本概念，函数的一般表示法和一次函数的概念、图象、性质等是基础知识；会画一次函数（包括正比例函数）的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质等是基本技能；能利用这些函数分析和解决简单实际问题是基本能力。对于基础知识和基本技能的掌握和基本能力的提高，都应在教学中得到落实。例如，第11．1节中对于描点法画函数图象的一般步骤进行了归纳，这对后续学习很重要，应使学生熟悉它。又如，一次函数 中 的正负对函数的增减性（图象的升降）的影响等，是一次函数的基本性质，应使学生从数形两方面理解。
第十二章“数据的描述”简介
课程教材研究所 左怀玲
一、教科书内容和课程学习目标
（一）教科书内容
本章属于《标准》中“统计与概率”领域的内容。对于统计的内容，本套书编写了三章，这三章内容按照数据处理的基本过程（数据的收集、整理、描述和分析）来安排，分别安排在7年级上册、8年级上册和8年级下册。本章是继七年级上册第4章“数据的收集与整理”之后，统计部分的第2章。
本章主要研究用统计图表表示数据的内容，重点是学习如何用扇形图和频数分布直方图和频数折线图来描述数据，这包括两个层面的要求，一个是会画出这些统计图表，另一个是会根据问题的需要选择它们来描述数据。
全章分为三节，内容分三步处理，第一步是认识统计图表，包括条形图、折线图、扇形图和直方图等常见的统计图的特征以及频数分布表等；第二步是在认识的基础上，学习制作统计图表的方法和选择适当的统计图来描述数据等；最后安排所学内容的综合运用。
第一节介绍几种常见的统计图表。本节在整理前两个学段已经学过的条形图、折线图和扇形图等统计图的基础上，进一步认识这几种常见的统计图，并引进一种新的统计图……频数分布直方图，研究它们在描述数据方面各自的特点，为下一节学习选择适当的统计图描述数据打下基础。
本节首先设置一个实际问题情景：在地图上给出某天我国一些省会城市的空气污染指数，然后提出问题，要求根据这些数据了解这些城市的空气质量情况。根据提出的问题的需要，教科书利用统计表整理了这些数据，并结合实际问题给出频数、频率等概念。为了更直观地了解这些城市的空气质量情况，教科书给出了条形图和扇形图，通过分析统计表和统计图就可以了解这些城市的空气质量情况，通过比较，研究了条形图和扇形图各自的特点。这样，教科书从一个实际案例出发，让学生经历了一个简单的收集、整理、描述和分析数据得出结论的基本过程，在这个过程中进一步认识条形图和扇形图。
对于折线图的认识，教科书首先给出一段文字资料，资料中包含一些国内生产数据，要求根据资料中的信息，讨论用什么样的统计图能较好地描述国内生产总值的变化趋势。由此引出用表格整理数据和用折线图描述数据的内容，通过分析图表就可以解决案例中的问题，最后结合实际问题讨论折线图的特点。这样教科书也是从实际案例出发，案例展开的过程就是数据处理的基本过程，在这个过程中让学生进一步熟悉折线图的特点。
直方图学生在前两个学段没有接触，这是本学段需要研究的新问题。对于直方图本章分成两步学习，本节通过一个实例认识直方图以及相关概念，下一节学习绘制频数分布直方图的方法。本节中，教科书首先呈现一个问题情景：体育老师统计800米赛跑后，全班每位同学一分时间的脉搏次数，由此引出频数分布表，在分析介绍这个统计表的过程中，引出组数、组距、频数分布等有关概念，并介绍如何读出频数分布表中的信息，接下去自然地引出根据这个频数分布表画出的频数分布直方图，介绍频数分布直方图的构成，研究如何读出直方图中的信息等，最后，教科书归纳给出了直方图的特点，为下一节学习如何绘制直方图描述数据打下基础。
第二节是在第一节的基础上，学习如何利用扇形图和直方图来描述数据的方法。用统计图表描述数据包含两个含义，一个是根据问题需要选择适当的统计图表来描述数据，另一个是学习制作统计图表的方法。本节首先研究了用扇形图描述数据的问题。教科书从一个实际问题出发：根据2000年我国第五次人口普查数据，选择适当的统计图表示各种受教育人口在总人口中的百分比。选择哪一种统计图来描述数据，要根据问题需要，结合统计图的特点来考虑，基于这两方面的考虑，教科书指出用扇形图来描述各种受教育人口在总人口中的百分比，使学生对统计图的选择有所体会，接下去讨论扇形图的制作。扇形图是用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比，而扇形的面积是由扇形的圆心角决定的，因此制作扇形统计图的关键是求出扇形的圆心角，教科书通过一个探究活动得出了扇形所对圆心角的度数与百分比之间的关系，从而可以利用百分比求出扇形圆心角的度数，利用量角器等就可以画出扇形图。用直方图描述数据是本章的一个重点，也是一个难点。教科书从学生熟悉的问题情景入手：从63名学生中选出40名参加广播体操比赛。选择参赛队员的一个要求是队员的身高应尽可能整齐。我们可以用不同的方法选出符合这个要求的队员，教科书介绍了利用频数分布确定人选的方法。分析数据的频数分布，首先是将数据分组，根据一组数据的最大值、最小值可以确定这组数据的极差，极差反映了数据的变化范围。参照极差，可以确定组距，进而可以经数据进行分组。教科书选用组距为3，将数据分成8个组，并用频数分布表整理了这组身高数据。频数分布表给出了身高数据的分布情况，分析频数分布表可以看出大部分学生的身高分布在哪个范围，由此可以确定参赛选手的身高。对于这组身高数据，不同的组距，对应着不同的分组的情况，也就对应着不同的频数分布，从而可能得到不同的结论，即选出两组不同的40名选手，这体现了统计结果的不确定性。为了让学生对这种不确定性有所体会，教科书设置一个探究活动，要求学生按组距是2或4对数据分组，根据不同的频数分布确定选手的身高。这个探究活动能够让学生感受数据分组是制作频数分布表的关键所在，为了较好地解决问题，需要确定适当的组距，对数据进行适当的分组。之后，教科书在学生探究活动的基础上归纳给出了对数据分组的一般经验。对于连续性数据（如身高），分组后可以用频数分布直方图来描述频数分布的情况，教科书介绍了根据频数分布表做出频数分布直方图的方法，以及根据频数分布直方图和频数分布表作出频数分布折线图的方法。这样教科书就结合一个实际问题，研究了如何将一组数据进行分组，作出频数分布表，画出频数分布直方图和频数折线图等内容，使学生进一步认识对数据分组的必要性、分组的多样性以及频数分布的意义和作用等。
本章最后一节安排了一个课题学习。完成这个课题，需要学生综合利用学过的统计知识和方法从事统计活动，经历收集、整理、描述和分析数据的基本过程。教科书选择了一个赋有实际意义和时代气息的问题……水资源问题为主题编写课题学习。这个课题学习由两部分组成，第一部分有三个活动，这三个活动涉及三个不同的方面。在第一个活动中，教科书根据附录中提供的背景材料提出了几个问题，要求学生阅读背景材料，从中收集数据，通过数据处理回答这些问题。在收集和处理数据的过程中，用到本章以及以前所学习的有关统计的知识和方法，比如频数分布，用条形图、扇形图和折线图描述数据等。附录中提供的背景材料包括地球上水资源和淡水资源的分布情况，我国淡水资源的储量以及水资源的使用情况等，通过阅读资料，收集数据和处理数据等统计活动，也就是第一个活动，可以使学生对世界及我国的水资源分布、使用等情况有所了解，使学生看到目前全球正面临这严重的缺水挑战，我国是严重的缺水国家，可是我国的水资源浪费却非常严重，我们每一个家庭和个人都是水资源的使用者，我们的日常生活用水情况怎样，这样教材就在第一个活动的基础上设计了第二个活动。这个活动首先要求学生收集全班同学各个家庭人均月用水量，然后对所得数据进行处理并回答问题，这些问题是围绕家庭人均月用水量提出的，回答这些问题需要进行数据处理，在处理数据的过程中要综合运用所学统计知识和方法，例如设计调查问卷收集数据、用扇形图和直方图等描述数据、用平均数分析数据等等；第三个活动是在第一、二个活动的基础上设计的，通过前两个活动学生对我国工农业以及生活用水的情况有了一些了解，能够认识到节约用水是我们目前所面临的紧迫任务，找到合理可行的节水方法是当务之急，这正是第三个活动的内容。上面的三个活动是本课题学习的第一部分，第二部分是根据第一部分的活动撰写总结报告，这个总结报告应该是有数据、图表等支持的统计报告，一方面让学生梳理整个活动的流程，体会数据处理的基本过程，同时让学生进一步感受数据在解决实际问题中的作用：数据有助于发现问题，可以使结论更具有说服力，可以为提出建议或作出决策提供依据等。
（二）本章知识结构框图
（三）课程学习目标
1．进一步认识条形图、折线图、扇形图，掌握它们各自的特点；
2．会画扇形图，会用扇形图描述数据；
3．结合实例进一步理解频数的概念，了解频数分布的意义和作用；
4．能够根据需要对数据进行适当的分组；会列频数分布表，会画频数分布直方图和频数折线图；
5．会根据问题需要选择适当的统计图描述数据；
6．通过从事收集和处理数据活动，经历统计的基本过程，感受统计在生活和生产中的作用，激发学生学习统计的兴趣，建立统计的观念；通过调查研究培养学生实事求是的科学态度。
（四）课时安排
本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：
12．1几种常见的统计图表3课时
12．2用图表描述数据4课时
12．3课题学习从数据谈节水3课时
数学活动
小结2课时
二、本章编写特点
（一）螺旋上升安排内容
从前面的内容分析可以看出，本章主要研究用统计图表（主要是扇形图、频数分布表、频数分布直方图和频数折线图）描述数据的问题。从《课程标准》看，这些内容在三个学段均有安排，教学要求随着学段的升高逐渐提高。在第一学段要求学生“通过实例认识统计表和象形、条形统计图，并完成相应的图表”；第二学段要求学生“进一步认识条形统计图,认识折线图、扇形图；选择条形图、折线图表示数据”，到第三学段要求学生“会用扇形图表示数据”“理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和作用，会列频数分布表，会画频数分布直方图和频数折线图，并能解决简单的实际问题”等。根据《课程标准》中统计内容安排的这个特点，结合教学实际情况，本章编写时，注意与前两个学段相关内容的联系，在已有的基础上有所提高。例如，对于条形图和折线图，学生在前两个学段已经会用这两种统计图表示数据，本章中又将它们放在用统计图描述数据这个大环境下来学习，通过比较各种统计图（主要是条形图、折线图、扇形图、直方图等）的特点，使学生对各种统计图有一个整体的认识，从而更有效地学习选择适当的统计图描述数据的方法。再如，对于扇形图，学生在前两个学段已经学会读扇形图，本章在复习扇形图的基础上，进一步研究了扇形图的特点以及扇形图的制作方法，并学习如何利用扇形图描述数据，即在复习整理已有知识的基础上有所提高，完成本学段的教学要求。
（二）强调统计思想
强调统计思想，是本套教科书在编写统计内容特别重视的问题，本章也是如此。本章编写时，注意突出各种统计图表在描述数据中的意义和作用，避免把统计图表的内容写成单纯的绘制图表的技巧性问题，让学生感受统计结果对决策的意义和作用，建立统计观念。例如在第10.2节中，从解决实际问题的需要出发，根据扇形图、频数分布直方图的特点和作用，学习制作这两种统计图的方法，使学生感受它们在数据处理中所起的作用。再如，对于本章中出现的一些概念，如频数、频率和频数分布等概念都是结合具体问题给出的，使学生在具体情境中感知这些概念，而不追求严格定义。这样淡化处理概念的目的，是使学生在具体情境中感知有关概念，更好地理解这些概念的统计意义。
（三）强调活动，突出数据处理的基本过程
统计与现实生活的联系是十分密切的，这为学生通过一些统计调查活动学习统计提供了舞台。通过实际调查活动学习统计，是帮助学生建立统计观念，体会统计的作用和意义的有效方法，这样的调查活动也有助于改变学生的学习方式，培养学生的实践能力和合作交流能力。本章编写时，沿用了“第4章数据的收集与整理”思路，从实际案例出发，让学生从事统计活动，经历数据的收集、整理、描述、分析，以及根据统计结果进行合理的判断和预测的统计活动的基本过程，在这个数据处理的过程中，学习描述数据的几种统计图。例如，在12.1.2节学习折线图时，从实际问题（我国近些年的国内生产总值）出发，通过阅读材料收集有关数据，然后用表格整理数据，根据问题需要选择折线图描述数据，最后通过“读图”栏目分析图表得出结论，这样就使学生经历了一个基本的数据处理的过程。
三、几个值得关注的问题
（一）利用丰富的素材进行教学，体现统计与生活的密切联系
统计与实际的联系是非常密切的，本章选取素材时注意选取生活和生产中常见的问题，例如有空气污染问题，节约用水问题等环境保护方面的问题，身高、体重、脉搏、成绩等学生身边的问题，国内生产总值、进出口贸易等经济生活的问题，这些问题大多是富有时代气息、学生熟悉和感兴趣的现实问题，涉及到生活和生产的方方面面。以这样丰富有趣的素材为载体学习统计内容，可以使学生充分感受到统计在实际中所起的作用。虽然本章编写时，注意了素材的多样性，但还不够，教学中可以和学生一起挖掘现实生活中的实例，选择丰富有趣的、富有挑战性和时代气息的真实素材进行教学，使学生充分感受统计与现实生活的密切联系，培养学生用数据说话的习惯，帮助学生建立统计观念。
（二）注意发挥计算机（器）的作用
信息技术的发展给统计学的研究带来很大变化，目前，实际工作中的很多统计图表都是利用计算机（器）画出的，许多统计分析也是借助于计算机（器）完成的。为了体现计算机（器）等现代信息技术对统计的作用，本章编写了利用计算机画统计图的选学内容，供有条件使用计算机的学校选用。教学中如果能使用计算机（器）作统计图或进行统计分析，将有利于把学习重点放在理解统计思想和从事统计活动上来。
（三）将“课题学习”的教学落到实处
本套教材在“统计与概率”领域的四章都安排了“课题学习”，本章在最后一节安排了一个“课题学习”。安排这个“课题学习”的目的是希望为学生提供一个动手实践的机会，使学生综合运用本章以及以前所学有关数据处理的知识和方法，通过小组合作活动等方式，经历收集、整理、描述、分析数据得出结论以及对所得结论进行解释和反驳的统计过程，感受统计与生活的密切联系，体会统计在解决实际问题中所起的作用．本章的“课题学习”选用了与环境保护有关的节约用水问题，具有一定的综合性和活动性．通过这个“课题学习”也使学生对地球上淡水资源的储量和分布以及淡水资源的使用等情况有一个定量的认识，增强学生的节约用水从我做起的环保意识，使学生自觉地加入到节约用水的的宣传和行动中来。因此，教学中要重视这个“课题学习”的教学，让学生亲自从事统计调查活动，经历数据处理的基本过程，并使学生得到人文方面的教育．
另外，这个“课题学习”的主题是围绕着水资源展开的，教学时，不必拘泥于这个主题，可以根据学生的实际情况，选择其他的主题进行课题学习。选择主题时，要注意课题的操作行和可行性，要注意完成课题学习的教学目标，重点是让学生通过这个课题学习，进行统计调查活动，经历数据处理的一般过程，对统计活动有进一步的认识。
第十三章“全等三角形”简介
课程教材研究所 薛彬
“全等三角形”一章首先让学生认识形状、大小相同的图形，给出全等三角形的概念，然后让学生探索两个三角形全等的条件，并运用有关结论进行证明，最后掌握角的平分线的性质。
本章教学时间约需10课时，具体分配如下（仅供参考）：
13.1 全等三角形 1课时
13.2三角形全等的条件 5课时
13.3角的平分线的性质 2课时
数学活动
小结 2课时
一、教科书内容和课程学习目标
本章知识结构框图：
本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学会如何利用全等三角形进行证明。本章分三节，第一节介绍全等形，包括三角形全等的概念，全等三角形的性质。第二节介绍一般三角形全等的判定方法，及直角三角形全等的一个特殊的判定方法。在第三节，利用直角三角形的判定方法，证明了角平分线的性质,并会利用角的平分线的性质进行证明。
学生已学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识，七年级两册教科书中安排了一些说理的内容，这些为学习全等三角形的有关内容作好了准备。通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识（如两个三角形满足一定的条件就完全一样了，角的平分线上的一点到角的两边的距离相等），同时为学习其他图形知识打好基础。全等三角形是研究图形的重要工具，学生只有掌握好全等三角形的内容，并且能灵活地运用它们，才能学好四边形、圆等内容。
从本章开始，要使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式。这既是本章的重点，也是教学的难点。教科书把研究三角形全等条件的重点放在第一个条件（“边边边”条件）上，使学生以“边边边”条件为例，理解什么是三角形的判定，怎样判定。在掌握了“边边边”条件的基础上，使学生学会怎样运用“边边边”条件进行推理论证，怎样正确地表达证明过程。“边边边”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了。
在“全等三角形的条件”一节中，得出如下结论：三边对应相等的两个三角形全等；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。用这些结论可以判定两个三角形全等。三角形全等的这些判定方法都是可以证明的，都可以作为定理处理。但是，这些定理（除“边边边”定理外）的证明方法都比较特殊。学生开始学习这些判定定理时，掌握定理的内容并不困难，困难的是定理的证明，而这些特殊的证明方法，在正式学习推理证明的开始阶段，并不要求学生掌握。所以为了突出重点，突出判定方法这条主线，本章中上述判定方法都是作为基本事实（公理）提出来的，通过画图和实验，使学生确信它们的正确性。值得注意的是，本节中的另一个判定方法“两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等”，则是利用“两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等”证明的。
运用三角形全等的条件可以判定两个直角三角形全等。还可以利用“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”判定两个直角三角形全等。本章中这个判定方法是作为基本事实（公理）提出来的，也是通过画图和实验，使学生确信它的正确性。
在“角的平分线的性质”一节中，介绍角的平分线的作法，以及“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”两个结论。这两个结论是互逆定理。为了保证学生在本章学好简单证明的重点，本章暂不介绍互逆命题、互逆定理等内容，这些内容在八年级下册“勾股定理”一章中介绍。本节例题让学生证明三角形两条对角线的交点到三角形三边的距离相等，并进一步让学生得出这个交点在第三条角平分线上，即三角形的三条角平分线交于一点。这也为学生今后在“圆”一章学习内心作好了准备。
本章的学习目标如下：
1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；
2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；
3．了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明。
二、本章编写特点
（一）注重探索结论
在“三角形全等的条件”一节设计了8个探究，让学生经历三角形全等条件的探索过程，突出体现新教材的设计思想：
探究1：两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的一个或两个，两个三角形是否一定全等；
探究2：三边对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究3：两边及其夹角对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究4：两边及其中一边所对的角对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究5：两角和它们的夹边对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究6：两角和其中一个角的对边对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究7：三个角对应相等，两个三角形是否一定全等；
探究8：斜边和一条直角边对应相等，两个直角三角形全等。
探究2～7让学生探索两个三角形满足上述六个条件中的三个，两个三角形是否一定全等。总的发展脉络是三边，两边一角（包括探究3，探究4两种情况），一边两角（包括探究5，探究6两种情况），三个角，这样学生容易把握探索的过程。
探究1、探究4、探究7是不一定能判定全等的情况，探究2、探究3、探究5、探究6是能判定全等的情况。这样的处理也与先给出可判定全等的情况再给出不一定能判定全等的情况的处理不同，尽量排除人为安排的因素，呈现更为自然。
学完三角形全等的条件，让学生将三角形全等的条件运用于直角三角形，讨论得出直角三角形全等的条件。其中，斜边和一条直角边对应相等不能运用三角形全等的条件，又需要学生进一步加以实验探索。
（二）注重推理能力的培养
本章正式出现证明及证明的格式。七年级两册教科书中安排了一些说理的内容，就是为现在正规练习证明作准备的。要求学生有理有据地推理证明，精练准确地表达推理过程，是比较困难的。为了解决这个难点，教科书做了一些努力。
1．注意减缓坡度，循序渐进。开始阶段，证明的方向明确，过程简单，书写容易规范化。这一阶段要求学生体会例题的证明思路及格式，然后再逐步增加题目的复杂程度，小步前进，每一步都为下一步作准备，下一步又注意复习前一步训练的内容。通过精心选择全等三角形的证明问题，减缓学生学习几何证明的坡度。
2．在不同的阶段，安排不同的练习内容，突出一个重点，每个阶段都提出明确要求，便于教师掌握。先让学生会证明两个三角形全等，然后安排通过证明三角形全等，证明两条线段或两个角相等的问题，从而熟悉证明的步骤和方法。在此之后安排的问题还会涉及以前学过的平行线等内容，重点培养学生会分析思路，会根据需要选择有关的结论去证明。
3．注重分析思路，让学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程。例如，在第二节证明例1的结论“△ABD≌△ACD”以前，首先指出证题的思路：“要证△ABD≌△ACD,可看这两个三角形的三条边是否对应相等.”为了清楚地表达上述思考过程，引入“∵”“∴”及综合法证明的格式，把证明的过程简明地表达出来。
（三）注重联系实际
在“全等三角形”一节，教科书从实际例子引入全等形的概念，并让学生举出一些例子。在我们的周围，经常可以看到形状，大小相同的图形，这样做既可以使学生易于理解相关概念，也可以调动它们学习的积极性。又如，从分析平分角的仪器的原理引入角的平分线的画法。再如，通过确定集贸市场的位置的问题引出“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要。
用三角形全等可以说明实际测量方法的道理，例如，测量池塘两端的距离，测量河两岸相对两点的距离，用卡钳测量工件的内槽宽。还安排了利用三角形全等测量旗杆高度的数学活动。
三、几个值得关注的问题
（一）关于内容之间的联系
在“全等三角形”一节，让学生通过观察、思考得出平移、翻折、旋转前后的图形全等的结论。这样处理一方面可以复习巩固全等三角形的概念，另一方面也使学生在某些情况下容易找到全等三角形的对应元素。
在“全等三角形的条件”一节，三角形的画法与三角形全等条件的探索相结合，也就是说，三角形全等条件不是直接给出的，而是让学生画出与已知三角形某些元素对应相等的三角形，画完以后，再剪剪量量，在这个基础上启发学生想一想，判定两个三角形全等需要什么条件。这样让学生自己动手画图实验，就会对相关结论印象深刻。将三角形的画法与三角形全等条件的探索相结合，也比单独讲三角形的画法效果好，单讲容易单调枯燥。
作图内容在本章中是分散安排的，小结时应注意复习本章中涉及的下面几种作图：
（1）已知三边作三角形；
（2）已知两边和它们的夹角作三角形；
（3）已知两角和它们的夹边作三角形；
（4）已知斜边和一条直角边作直角三角形；
（5）作角的平分线。
（二）关于证明
解决推理入门难是本章的难点，除了教科书作了一些安排外，教师在教学中要特别注意调动学生动脑思考。只有学生动脑思考了，才能真正解决推理入门的问题。课堂上要注意与学生共同活动，不要形成教师讲，学生听的局面。教师课堂上多提些问题，并注意留给学生足够的思考时间。
证明一个几何中的命题有以下步骤：
（1）根据题意，画出图形；
（2）根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明的过程。
在一般情况下，分析的过程不要求写出来。有些题目中，已经画好了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了。
分析证明命题的途径，这一步学生比较困难，需要在学习中逐步培养学生的分析能力。
证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”。这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理、已经学过的重要结论。
在本章中还会遇到通过举反例说明两个三角形满足某些条件不一定全等。判断一个命题是假命题，只要举出一个反例。找反例对学生来说是比较困难的，学生在一般情况下不容易发现反例。教师要根据学生的情况进行指导，尽量多发现几个反例，使学生学会举反例。
为了使学生认识证明的必要性，教科书安排了“阅读与思考为什么要证明”，它以师生对话的形式结合具体例子介绍了逻辑推理的必要性。通过观察和实验，可以获得许多知识。几何中研究的物体的形状、大小、位置关系等，许多都是通过观察得来的。不过，从观察得到的认识是初步的，往往是不全面的，不深入的。如本文中的例子，观察一些三角形三个角的和，得到三角形的三个角的和等于180°的结论。那么是不是所有的三角形都是这样的呢？为什么三角形的三个角的和必然等于180°呢？只用观察的方法就不够了，而要在观察的基础上，一步一步地，有根有据地说明理由，也就是要进行证明。可通过这个例子的分析，使学生体会证明的必要性。
第十四章“轴对称”简介
课程教材研究所 李海东
七年级下册第14章是“轴对称”，主要包括轴对称和等腰三角形的有关内容。本章共安排了三个小节和两个选学内容，教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：
14.1 轴对称 3课时
14.2 轴对称变换 3课时
14.3 等腰三角形 4课时
数学活动
小结 2课时
一、教科书内容和课程学习目标
（一）本章知识结构框图
本章知识结构如下图所示：
（二）教科书内容
本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用。在此基础上，利用轴对称变换，探索等腰三角形的性质，学习它的判定方法，并进一步学习等边三角形。
轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学与现实联系的重要内容。在本章第1小节“轴对称”中，教科书立足于学生的生活经验和数学活动经历，从观察现实生活中的对称现象开始，引出轴对称图形和图形的轴对称的概念，从整体上概括出轴对称的特征。结合探索对称点的关系，归纳得出对应点连线被对称轴垂直平分的性质，并结合这一性质的得出，讨论了垂直平分线的性质定理及其逆定理。接下来，在第2小节“轴对称变换”中，通过观察一系列的图形，引出了轴对称变换并归纳其特征，通过作轴对称图形、简单的图案设计、确定最短路线等活动，让学生进一步体会轴对称的应用价值和丰富内涵。用坐标表示轴对称，从数量关系的角度刻画了轴对称变换。教科书从观察和实验入手，归纳得出坐标平面上一个点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律，并进一步探讨了如何利用这种规律在平面直角坐标系中作出一个图形关于x轴或y轴对称的图形。
等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质。由于它的这些特殊性质，使它比一般三角形应用更广泛。而等腰三角形的许多特殊性质，又都和它是轴对称图形有关，这也是教科书把这部分内容安排在本章的一个重要原因。在本章第3小节“等腰三角形”中，利用等腰三角形的轴对称性，得出了“等边对等角”“三线合一”等性质，并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角形的性质与判定方法的内容。
在本章，轴对称的性质是本章的重点，其他轴对称变换的应用，利用轴对称设计图案，用坐标表示轴对称等都是围绕这一性质进行的。另外，等腰三角形的性质和判定也是本章的重点，它们是证明线段和角相等的重要根据，应用也比较广泛。
按照整套教科书对于推理证明的安排，上一章“全等三角形”已经要求让学生会用符号表示推理（证明）。在这一章，对于一些图形的性质（如线段垂直平分线的性质、等腰（边）三角形的性质与判定等），仍是要求学生证明。由于学生刚开始接触用符号表示推理，虽然教科书控制了证明难度，但是相对于上一章，推理的依据多了，图形、题目的复杂程度也增加了，因此会使一些学生感到无处下手，这是本章教学的一个难点，要注意帮助学生克服这一难点。
（三）课程学习目标
1．通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质；
2．探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形；认识和欣赏轴对称在现实生活中的应用，能利用轴对称进行简单的图案设计；
3．了解线段垂直平分线的概念，探索并掌握其性质；了解等腰三角形、等边三角的有关概念，探索并掌握它们的性质以及判定方法；
4．能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习空间与图形的兴趣。
二、本章编写特点
1．有机的整合“空间与图形”领域的相关内容，利用变换研究图形的性质
在以往的教科书中，等腰三角形的有关内容一般安排于介绍三角形的内容之中，利用三角形的全等研究等腰三角形的性质和判定。在本套教科书中，等腰三角形的有关内容安排在了“轴对称”一章，学生学完了轴对称的相关性质之后，利用轴对称的有关知识研究等腰三角形的性质，再利用三角形的全等的知识给以证明，这是本章编排上的一个特点。
等腰三角形是一个很好的轴对称图形，它的许多性质都与它是轴对称图形有关。利用它的轴对称性，不仅有助于发现等腰三角形的一些性质，而且也能为利用三角形全等的知识证明一些性质提供思路，在教科书的编写中，充分重视了这一点。例如，教科书引出等腰三角形概念时，不是直接给出定义，而是直接通过一个“探究”栏目，让学生自己剪出一个三角形。这个剪三角形的过程，就是利用轴对称得到一个等腰三角形的过程。这个过程还保留下了中间折叠的痕迹，它就是等腰三角形的对称轴。接下来教科书安排的“思考”栏目是前面“探究”的继续，受剪出等腰三角形的过程的启发，学生很容易想到它是一个轴对称图形，折痕就是它的对称轴。通过找出其中重合的线段和重合的角利用轴对称变换的性质，可以很容易的引导学生得出等腰三角形的两个性质：“等边对等角”以及“三线合一”。在进一步证明这两个性质的过程中，关键是要添加辅助线，而有了前面的“探究”“思考”的铺垫，如何添加这个辅助线也就是水到渠成的了。
再如，利用等腰三角形的轴对称性，可以发现等腰三角形中许多相等的线段或角，如两底角平分线、两腰的中线、两腰的高等。教科书也安排了这样一个“讨论”栏目，让学生利用等腰三角形的轴对称性去发现一些等腰三角形中的相等的线段和角，利用图形的变换研究图形的性质。等腰三角形是一种轴对称图形，教科书将等腰三角形的相关内容安排在轴对称之后，就是要利用轴对称研究等腰三角形的有关性质，并进一步利用三角形的全等证明这些性质。将图形的变换与图形的认识、图形的证明有机整合，利用变换研究图形，得到图形的性质，在通过推理证明这些结论。
2．注意联系实际
人们生活在三维空间，丰富多彩的图形世界给“空间与图形”的学习提供了大量真实的素材。本章的内容具有丰富的实际背景，在现实世界中也有着广泛的应用，因此在教学中要注意联系实际，从实际出发引入概念，并将所学知识应用到实际生活中。
例如，轴对称现象在生活中是很常见的，教科书选用了从天安门到故宫的鸟瞰图作为章头图，在第1节的开头，也举出了如自然景观、分子结构、建筑物、艺术作品、日常生活用品、窗花等实际例子，让学生感受对称现象的无处不在，通过观察这些图形，引出轴对称的概念。在实际教学中，可以结合当地实际选择一些轴对称图形的例子，这些素材不仅应包括人们所习惯的标准几何图形，更应包括丰富多彩的现实世界中的二、三维图形，使学生欣赏现实世界中与轴对称有关的图案，并能够从中发现轴对称的特征。
除了注意从实际例子引出轴对称内容的学习以外，教科书也给出了一些应用轴对称变换的例子，如利用轴对称的观点来解释现实生活中的有关现象、简单的利用轴对称变换设计图案、利用轴对称变换解决一些有关最大、最小的选址问题等等，教科书也注意体现所学知识的应用，体现一个具体──抽象──具体的过程。
3．注意让学生经历观察、实验、归纳 论证的过程
学习方式的转变是这次课程改革的一个重要目标，与其他教学内容相比，“空间与图形”的内容的教学更能激起学生对数学学习的情感体验，强调学生通过“做数学”来学习数学也是本章教科书的一个突出特点．在内容处理上，教科书加强了实验几何的成分，将实验几何与论证几何有机结合．论证几何在培养人的逻辑思维能力方面起着重要作用，而实验几何则是发现几何命题和定理的有效工具，在培养人的直觉思维和创造性思维方面起着重大的作用．对于本章中的一些概念、性质、公理和定理，教科书大多是通过“留空”、设问、设置“观察”“思考”“讨论”“探究”“归纳”以及“数学活动”等栏目，让学生通过画图、折纸、剪纸、度量或做试验等活动，探索发现几何结论，经历知识的“再发现”过程，在探究活动的过程中发展创新思维能力，改变学生的学习方式．在发现结论的基础上，再经过推理证明这些结论，使得推理证明成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，使图形的认识与图形的证明有机整合。
例如，对于等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的性质的得出，教科书通过设置一个“探究”“思考”栏目，让学生剪出等腰三角形，并进一步利用轴对称的性质思考其中相等的线段和相等的角，进而发现等腰三角形的性质。接下来，从上面的操作过程启发，通过做出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等证明等腰三角形的这两个性质。这种处理，将实验几何与论证几何有机的整合在一起，使学生经历了一个观察、实验、探究、归纳、推理、证明的认识图形的全过程，把推理证明作为学生观察、实验、探究得出结论之后的自然延续，完成好由实验几何到论证几何的过渡。
三、几个值得关注的问题
1．注意知识间的联系
本章的内容较多，课程标准“空间与图形”领域中图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明各个部分的内容在本章都有涉及，教学时要注意把握各个部分内容之间的联系，有机的整合各个部分的内容。
本章从认识轴对称图形开始，又进一步介绍了两个图形关于某条直线对称（两个图形成轴对称），要注意这两个概念间的区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合，说的是一个具有特殊形状的图形，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合。它们的联系：定义中都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两个图形就是关于这条直线成轴对称，反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。从轴对称变换的角度来看，成轴对称的两个图形的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换得到，一个轴对称图形由它的一部分为基础，经过轴对称变换拓展而成。
在轴对称变换之后，教科书安排了用坐标表示轴对称的内容，从数的角度刻画轴对称的内容。包括关于坐标轴对称的点或图形的坐标的变化以及由点或图形坐标的变化引起点或图形轴对称变换的内容。这里的关键是要让学生感受图形轴对称变换之后点的坐标的变化，把“形”和“数”紧密的结合在一起，把坐标思想和图形变换的思想联系起来。
2．满足学生多样化的学习需求，为学生提供个性化学习的时间和空间
本章内容中有许多需要发挥学生想象和个性的活动，如欣赏轴对称图案，利用轴对称进行图案设计，探究对称轴是与坐标轴平行（垂直）时轴对称的坐标特点，发现等腰三角形中相等的线段等等，这些内容都为学生个性化的学习提供了空间。教学时应有意识地满足学生多样化的学习需求真正为学生提供个性化学习的时间和空间。例如，对于利用轴对称设计图案，不同学生可能会有不同的创意，也会有不同的操作方法（如折叠、剪纸、扎眼、计算机等）完成自己的创意，教师应该鼓励学生大胆想象、大胆尝试，不能用唯一的标准判断全体学生的成果，要把关注点放在活动中的数学层面上，看学生是否真正理解了轴对称变换的特点。
3．注意推理证明的教学
对于推理证明的要求，教科书是按“说点儿理”“说理”“简单推理”“用符号表示推理”等分层次安排的。本章的前一章是全等三角形，已经要求学生“用符号表示推理”，即证明。因此，在这一章，不仅要求学生通过观察、实验、探究得出一些有关图形的结论，还要求学生对这些结论进行证明，使推理证明成为学生探究得出结论的自然延续，进一步体会证明的必要性。
学过等腰三角形后，推理的依据逐渐多了，题目的复杂程度也增加了，因此，如何寻找证明的思路也成为本章教学的一个难点。教学时，要克服这一难点，关键是要加强证明题前分析的教学，帮助学生学会分析证题思路，找出证明的途径。因为学过的定理多了，从已知出发可以有多种途径选择，分析问题时要结合结论一起考虑，采用“两头凑”，教学时可向学生介绍这种方法。
另外，以前学生证明问题时，主要考虑利用全等三角形，也总习惯于找全等三角形。虽然涉及利用等腰三角形性质的问题都可以利用全等三角形来解决，但要注意纠正这种不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势。可结合具体问题让学生自己分析，寻找证明方法。对于可以直接利用等腰三角形性质、判定，垂直平分线的性质的问题，应当让学生选择简便方法。在与等腰三角形有关的一些命题的证明过程中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线。虽然“三线和一”，但添加辅助线时，有时作那条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度也不同，需要具体问题具体分析，这一点要注意。
4．重视现代信息技术工具的应用
信息技术工具的使用能为学生的数学学习和发展提供丰富多彩的教育环境和有力的学习工具．利用信息技术工具，可以很方便地制作图形，可以很方便地让图形动起来．许多计算机软件还具有测量功能，这也有利于我们在图形的运动变化的过程中去发现其中的不变的位置关系和数量关系，有利于发现图形的性质，这可以使得许多传统的数学教学做不到或做不好的事情变得容易起来。
在这一章，信息技术工具是大有用武之地的，许多计算机软件都有进行轴对称变换的功能，利用这个功能，可以方便的做出轴对称图形，并研究它的性质，教科书也专门安排了一个“信息技术应用”的选学栏目，利用计算机软件探索轴对称的性质，探索轴对称的点的坐标的特点，探索线段垂直平分线的性质，利用计算机软件进行图案设计等。有条件的学校，应尽可能多的使用计算机或图形计算器等信息技术工具，帮助学生的数学学习。
第十五章“整式”简介
课程教材研究所 林立军
人教版初中数学新课标实验教科书第十五章是“整式”，本章属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域。整式是代数式中最基本的式子，引进整式是实际的需要，也是学习后续内容（例如分式、一元二次方程等）的需要。整式是在以前已经学习了有理数运算、列简单的代数式和一次方程及不等式的基础上引进的。
本章共安排了5个小节及两个选学内容，教学时间约需13课时，大体分配如下（既供参考）：
15．1 整式的加减 2课时
15．2 整式的乘法 3课时
15．3 乘法公式 2课时
15．4 整式的除法 2课时
15．5 因式分解 2课时
数学活动
小结 2课时
一、教科书内容和课程学习目标
（一）本章知识结构框图
（二）教科书内容
本章的主要内容是单项式、多项式、整式的有关概念，合并同类项、添括号法则、整式的四则运算、乘法公式以及因式分解。这些知识是以后学习分式、根式运算以及函数等知识的基础。同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可或缺的数学工具。
全章共包括五节：
15．1 整式的加减
本节分为2个小节，教科书先讲单项式，后讲多项式，再归纳出整式概念。关于单项式，依次讲了单项式的意义，单项式的系数和次数；关于多项式，依次讲了多项式的意义，多项式的项、常数项，多项式的次数。此后，由学生熟悉的实例出发引出同类项，并在对同一个多项式的各项进行比较的基础上给出合并同类项的概念。在引进合并同类项的基础上，介绍了整式的加减法。
15．2 整式的乘法
本节分为4个小节，主要内容是整式的乘法，这些内容是在学生掌握了有理数、整式加减等知识的基础上学习的。其中，幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是学习整式乘法的前提条件，教科书把它们作为本节的预备知识依次安排在前3个小节中。教学时，应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义。
在学生掌握了幂的运算性质后，作为它们的一个直接应用，教科书在第4小节的开始安排了单项式乘法。我们知道，运用多项式乘法法则进行多项式乘法的关键，是熟练地进行单项式乘法，对此应该予以高度重视。在学生掌握了单项式乘法的基础上，利用分配律等就能进一步引进单项式与多项式乘法及多项式与多项式乘法，这样就使得整式乘法的运算从简到繁，由易到难，层层递进，环环相扣。
15．3 乘法公式
本节分为2个小节。乘法公式是在学习整式乘法的基础上得到的，在第1小节的开始，教材以“探究”的形式安排了3个题目，这些题目，按照多项式的乘法法则计算并不困难。通过总结三个题目结果的共同点，我们选取上述形式的多项式乘法并直接写出结果，把它们作为公式，即平方差公式，今后遇到该形式的多项式乘法时，可以直接写出结果。
用类似的方式，第2小节引进了乘法的完全平方公式。在引进完全平方公式后，适时引进添括号法则，以满足整式运算的需要。
15．4 整式的除法
本节也分为2个小节。同底数幂的除法是学习整式除法的基础，因此教科书在第1小节中首先介绍同底数幂的除法性质。熟练地进行单项式除法是学好多项式除以单项式的关键，在第2小节，教科书根据乘、除互为逆运算的关系，并以分配律、同底数幂的除法为依据，由计算具体的实例得到单项式除法的法则。
对于多项式除以单项式，教科书是从计算
来导出运算法则的，根据是乘、除法互为逆运算及分配律。可以看出，法则的基本点是把多项式除以单项式“转化”为单项式除以单项式，而单项式除法是已经学习并掌握了的。
15．5 因式分解
本节的内容是多项式因式分解中一部分最基本的知识和基本方法，它包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系，因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法。两种方法分别安排在第1和第2小节。
（三）课程学习目标
本章内容的设计与编写以下列目标为出发点：
1．使学生理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系。掌握单项式的系数、次数，多项式的项、次数等概念，明确它们之间的区别与联系；
2．使学生在理解同类项概念的基础上，掌握合并同类项的方法，并掌握添括号的法则，能正确地进行同类项的合并和去括号与添括号。使学生做到在准确判断、正确合并同类项的基础上，进行整式的加减运算；
3．使学生掌握正整数幂的乘除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。使学生掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算。使学生能熟练地运用乘法公式（平方差公式和完全平方公式）进行乘法运算；
4．使学生会进行整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；
5．使学生理解因式分解的意义并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形，让学生掌握什么是公因式，掌握提公因式（字母的指数是数字）和运用公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解。
二、本章编写特点
（一）强调重要的数学思想方法的渗透
根据数与式之间的联系，教材通过类比的思想方法，由数的运算引出式的运算规律。体现了数学知识间具体与抽象的内在联系和数学的内在统一性，强调整式乘法与因式分解是相反方向的变形。
在编写在整式乘法法则时，注意“转化”的思想方法。例如，多项式与多项式相乘的法则，第一步是“转化”为多项式与单项式相乘，第二步则是“转化”为单项式乘法，而单项式乘法则“转化”为有理数的乘法与同底数幂的乘法。
教科书的安排为这种“转化”的思想和方法提供了极大的方便。我们知道，幂的运算性质是整式运算的基础，它们是集中安排的，要打好这基础。而单项式乘法则是整式乘法的关键，它是作为幂的三个运算性质的直接运用安排的，这是通向本章的主要内容之一──多项式乘法的“桥梁”，然后依次安排多项式与单项式相乘、多项式与多项式相乘。
在整式除法的教学中也要注意“转化”的思想方法。例如，多项式与单项式相除的法则，第一步是“转化”为单项式与单项式相除，第二步则是“转化”为有理数的除法与同底数幂的除法。
可以看出，在整式的乘除法的学习中，只有打好基础，才能够熟练地进行后面的运算；只有在熟练运用“转化”方法的前提下，才能够顺利地取得较好的效果。
在编写本章教材时，注意了代数与几何之间的联系，在整式乘法和乘法公式部分，采用给出几何图形的方式来验证运算法则及公式的正确性，这充分体现了代数与几何之间的内在联系和统一。
（二）充分体现从具体到抽象再到具体的认知过程
从具体的实际问题出发，归纳出相关的数学概念，或抽象出隐含在具体问题中的数学思想和规律，这是本章的一个突出特点。密切联系实际，体现知识的形成和应用过程，这是编写本章时高度重视的一个中心课题。
以第15．2节为例，无论同底数幂相乘、幂的乘方还是积的乘方，都是从几个具体的、简单的题目的运算出发，最后归纳出运算性质。然后，再利用归纳得出的结果进一步指导比较复杂的实际问题。而整式的加、减、乘、除法无不是从具体的问题出发，最后归纳出运算法则，再进一步用于解决实际问题。这种从具体到抽象，再由抽象到具体的编排方式，可以循序渐进地向学生呈现教学内容，有助于学生的理解和掌握，符合现阶段学生的认知水平。
三、几个值得关注的问题
（一）发挥整式承前启后的作用
在小学和七年级，已经学习了用字母代替数，列代数式表示现实世界中简单的数量关系、根据数量关系列方程和解方程，有了这些基本知识，学生已经对整式具有了一定的感性认识。
学习整式的有关概念以及运算，都必须以已学过的数学知识为基础，比如整式的乘方离不开实数的乘方，整式的加、减、乘、除运算离不开实数的加、减、乘、除运算法则。
整式中的字母表示数，整式的运算都是建立在数的运算的基础之上，在整式运算的教学中要强调运用数的运算律。通过对数与式运算的对比分析，使学生理解认识事物的过程是由特殊（具体）到一般（抽象），又由一般（抽象）到特殊（具体），在不断重复中得到提高，培养学生初步的辨证唯物主义观点。
因式分解是本章的重要内容之一，它与前面的整式和后续的分式联系极为密切，而因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。因式分解在解方程和函数变形等方面也经常使用，所以要足够重视。
（二）充分发挥学生的积极性和主动性
充分信任学生，努力发挥他们的主观能动性，让他们通过观察、思考、探究、讨论、归纳，主动地进行学习。勤于思考，善于思考，是学好数学的先决条件。
在本章中，教材安排了大量的“探究”“讨论”和“思考”栏目。通过“探究”栏目让学生体验研究问题，解决问题，最后探求出一般结论的过程，加深学生对问题的理解，使其既知其然，又知其所以然。本章共安排了9个“探究”栏目，许多重要结论或概念都是通过这个栏目归纳和总结出来的。在教学过程中应该尽可能地发挥“探究”栏目应有的作用。通过这个栏目，学生一方面可以体验获得结论的过程，另一方面可以获得成功的喜悦。
“讨论”栏目为学生提供一个合作交流、互相启发以及相互促进的机会和平台，通过积极讨论和思想交流，可以拓展思维空间，促进数学思考，加深对问题的认识。例如，在15．3．1节，通过对面积的讨论，可以发现平方差公式与面积之间的内在联系，从而感受到几何与代数之间内在的统一性。再比如，在15．4．2节，通过“讨论”栏目，鼓励学生自觉地在讨论实例的基础上归纳出单项式相除的法则。总之，通过“讨论”栏目，学生可以共同探索，共同发现，共同发展。通过该栏目，学生可以感受到集体智慧的强大力量，进而培养集体意识和团队精神。
课程改革的目的之一是促进学习方式的转变，加强学习的主动性和探究性，而“思考”栏目的安排也是为实现上述目标所做的设计之一。通过“思考”栏目，可以强有力地培养学生的创新精神和自学意识。
在本章的教学中，要有意识地鼓励学生寻找“富有挑战性”的学习材料，并更多地进行数学活动和相互交流，在探究、讨论、思考的过程中获得知识，培养能力。在本章的“数学活动”和“拓广探索”栏目中都设计了许多探究性的问题，教师应该适当地安排这些问题，鼓励学生积极思维，努力探索，努力提高数学思维水平。
（三）把握好教学要求
本章要求学生会进行简单的整式的加、减运算，会进行简单的整式乘法（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）运算和除法运算。会推导平方差公式和完全平方公式，并了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算。会用提公因式法和公式法进行因式分解（指数是正整数）。
多项式（升幂或降幂）的排列方式，不作为重点，但要适当渗透。
整式是代数式中最基本的式子，为避免概念过分集中，本章介绍整式概念时不要求对代数式进行分类，避免过早地出现分式、有理式、无理式等概念。
单项式的系数是对式中的字母来说的，有数字系数与字母系数的不同。单项式的次数是式中所有的字母的指数的总和，而且次数仅仅与字母有关。要注意 规定为 ，指数1不写出，切不可把 的指数当作0。单独一个非零的数，也是单项式，叫做零次单项式。数0也可看作单项式，它没有任何确定的次数。这些不要讲给学生，以免概念太多，引起学生思维的混乱，反而影响教学效果。
教学时，要注意使学生掌握单项式与多项式的关系，重点在于使学生认识多项式是几个单项式的和，每个单项式是该多项式的一个项。各项都应包括它前面的符号，这一点在教学时一定要特别予以强调。
添括号法则是在去括号法则的基础上建立的，而去括号法则已经在第一、二章学过。教科书根据第二章中应用去括号法则得到的两个等式，再把它们反过来，分析等式两边对应项的符号变化，得到添括号法则。教学时要向学生指出，应该把添上括号（或去掉括号）与括号前面的符号看成统一体，不能拆开。这对正确地运用法则，熟练地进行计算有很大帮助。要特别地向学生强调，添括号与去括号恰好是互逆的过程，检查添括号是否正确，可以用与去括号检验，反之亦然。
本章系统地介绍了幂的运算性质、乘除运算法则以及乘法公式的知识，每个知识的发生过程都叙述得清晰明确。在教学过程中，要以教科书为基础，探讨知识发生的过程，并和学生一起研究如何经过由具体到抽象概括得到性质、法则以及公式，这将有助于训练学生的思维，使学生领会到数学的思想和方法。
对于乘法公式，要使学生领会平方差公式和完全平方公式都是有几何意义的。
对于因式分解部分，只要求学生会灵活地运用提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）两种分解方法，对分组分解法和十字相乘法则不做要求。对于其他因式分解方法，教材只在选学栏目中给出了一种，即 型式子的因式分解（十字相乘法），仅供学有余力的同学参考。在教学时可以适时向学生提出几个（应用因式分解）解方程的问题，这样可以使学生感受到学习因式分解的重要意义。
（四）把握并突破知识的重点、难点和关键
在本章，有较多的知识点属于重点或难点，有的知识点既是重点又是难点，下面分三部分进行具体分析。
整式的加减
合并同类项是重点，也是难点。合并同类项是整式加减的知识基础，整式的加减主要是通过合并同类项把整式化简。熟练进行合并同类项，必须抓好三个关键环节的教学。首先要使学生掌握同类项的概念，会辨别同类项，准确地掌握判断同类项的两条标准（字母和字母指数）；其次，要明确合并同类项的含义是把多项式中同类项合并成一项，经过合并同类项，多项式的项数会减少，这样多项式就得到了简化；最后，要使学生明确“合并”是指同类项的系数的增加，把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变。
进行整式的加减，关键是使学生明确整式加减的作用是把整式化简，化简的主要方法是合并多项式中的同类项。
整式的乘除
这部分内容的重点是整式的乘除法，尤其是其中的乘法公式。从整式乘除的地位和作用可知，如果掌握不好这部分内容，将会给以后的学习带来极大的困难。因此要有针对性地加强练习，务必使学生对整式的乘除运算，特别是其中运用乘法公式进行计算达到熟练的程度。
乘法公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义学生不易掌握，运用时容易混淆，因此乘法公式的灵活运用是本部分的难点。在教学中要引导学生分析公式的结构特征，并在练习中与所运用公式的结构特征联系起来，对所发生的错误多做具体分析，以加深学生对公式结构特征的理解。
添括号（或去括号）时，括号中符号的处理是本部分的另一个难点。添括号（或去括号）是对多项式的变形，要根据添括号（或去括号）发法则进行。掌握法则的关键是把添上括号（或去掉括号）与括号前面的符号看成统一体，不能拆开，学生不易理解这一点，要结合例题分析。
学生在学习添括号（或去括号）时，感觉添括号难于去括号，括号前是“—”号难于括号前是“+”号。遇到括号前是“—”号时，学生容易漏掉括号中一部分项的变号，教师在讲解例题时要强调法则中“各项”的含义。
在整式的乘除中，单项式的乘除是关键。这是因为其他乘除都要“转化”为单项式的乘除。实际上，单项式的乘除进行的是幂的运算与有理数的运算，因此幂的运算是学好整式乘除的基石。
因式分解
因式分解这部分内容的难点是因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，在教学中一定要让学生牢牢地掌握。因式分解的理论比较多（如因式分解的因子存在性与唯一性），分解因式的方法很多，变化技巧较高，这是本部分知识的难点，教学时一定要按照教学要求教学，防止随意拓宽内容和加深题目的难度。因式分解是整式乘法的逆向变形，教材中两种因式分解方法的引入，都紧紧扣住这一关键，采用对比的方法，从多项式乘法出发，根据相等关系得出因式分解公式和方法。
（五）利用好选学内容
教学中除了要关注学生在数学知识和数学能力方面的提高外，还要考虑在传承数学史知识及数学文化修养方面做出努力，以使学生在获得数学知识的同时人文精神也得到陶冶。
本章安排了“阅读与思考”“观察与猜想”两个选学栏目，这些选学内容是本章有关内容的拓展与延伸。不失时机地安排感兴趣的学生阅读这些材料，可以开阔他们的视野，拓展他们的知识面。
“阅读与思考”栏目中的“杨辉三角”，不但可以使学生了解一些二项展开式中各项系数规律的知识从而增强他们的数学修养，还可以潜移默化地培养他们的爱国情怀。“观察与猜想”栏目，可以使学生初步感受另一种分解因式的方法──十字相乘法，这对于促进学生理解必修内容是不无裨益的。
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