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| 谈数学问题解决过程的教学
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作者： BX
发表时间： 2005-12-16 文章出处： 中央电化教育馆
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[前言]：无论从人类认识世界的历史，还是从科学发展、学习、教育、教学的发展来看，很少有完全能经受历史发展考验的、放之四海皆准的模式或说词。事实上，单从教学模式和学习方式来看，第一线教育工作者的耳中早已充塞了许多让人莫衷一是的东西，如：接受学习（有意义、无意义）、发现学习、合作学习、探究学习、研究性学习；又如：传授式、启发式、先学后教、成功教育、问题解决教学等等，凡此种种，作为一个教师，在学科教学中信奉“拿来主义”的做法绝对是不合适的⊕我们应该有的态度是——审慎、辨证、批判、吸收、发扬。
如何来实施学科教学？答案应该来自于时代对人的要求、来自于时代背景下学科教学的纲（课程标准）。虽然学科教材、读本及学习材料可能会是五花八门，但纲是高高在上的（但也是动态的），我们可以看一下最新的高中数学教学大纲的变化：（1）教学内容的确定——应精选那些在现代社会生活、生产和科学技术中有着广泛应用的，为进一步学习所必须的，在理论上、方法上、思想上是最基本的，同时又是学生所能接受的知识。（2）教学目的的确定——使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习所必须的代数、几何、概率统计、微积分初步的基础知识，基本技能，以及其中的数学思想方法；在数学教学过程中注重培养学生数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力、数学建模能力和数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力；努力培养学生数学思维能力，包括：空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面，能够对客观事物中的数量关系和数学模式作出思考和判断；激发学生学习数学的兴趣，使学生树立学好数学的信心，形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神，认识数学的科学价值和人文价值，从而进一步树立辨证唯物主义世界观。解读大纲，结合新一轮课程改革的精神，我们不难发现数学学科的教学应该使学生（1）掌握知识与技能，经历过程与方法，养成健康科学的情感态度价值观（2）学会数学地思考和解决问题，数学地看世界。也许我们通过传授和操练能够达成知识和技能目标，但是看看大纲便知这样做差之太远！我们应该思考的是如何利用课堂这一教学的主阵地，采取切实有效的措施，使学生通过学习掌握知识、构建能力——缘于此，我们申报了课题《加强数学问题解决过程的教学，提高学生继续学习的能力》，并比较实在地开展了研究，从目前本课题的研究情况看，只要我们能坚持做下去，相信一定会有所回报。借此机会将一些观点和思考作一介绍，期望得到大家的批评和指教，也希望有更多的老师参与到我们的课题中来，一起作些思考和探索。
一、 几个解释
1、 问题解决学习
1.1问题解决学习的早期研究——“试误说”和“顿悟说”
问题解决是人类的普遍行为，心理学家对问题解决学习的研究至少已有100年的历史。最早研究问题解决学习的是美国心理学家桑代克（E.L.Thomdike）。他以猫为实验对象，于1889年设计了研究问题解决的“问题笼”，通过对实验的分析，他认为动物的问题解决是一个“尝试错误”的渐进过程，进而认为人也是通过尝试错误来解决问题的，由此建立了著名的“尝试错误”理论，即“试误说”。“试误说”的根本观点——问题解决的过程是盲目的、渐进的。1925年，另一位心理学家以黑猩猩为实验对象进行了一系列的有关问题解决的研究，他根据实验认为，黑猩猩的问题解决是通过“突然的领悟”实现的，并由此建立了著名的“顿悟”理论，这位心理学家是德国的科勒（W.Kohler）。“顿悟说”的基本观点——问题解决的过程不是盲目的、渐进的，而是在 了解了问题情境各部分间的相互关系的基础上进行的。从此，“试误说”和“顿悟说”成了两种相互对立的理论。将两种对立的观点联系起来的是美国心理学家哈咯（Harlow）,他认为这两者在问题解决的过程中并不是矛盾的，试误和顿悟分别代表学习和思维发展中的两个阶段，试误是初始阶段，是顿悟的基础；顿悟是高级阶段，是试误的飞跃。
1.2 问题解决学习的中期研究——“阶段说”与“状态理论”
“阶段说”
比较典型的关于问题解决学习的“阶段说”有以下几种：
——1910年，杜威，五阶段：失调、诊断、假设、推断、验证。
——1931年，罗斯曼，七阶段：遭遇困难、找出问题关键、收集资料、提出假设、验证结论、形成新观念、验证新观念。
——1970年，加涅，四阶段：提出问题、分析问题、形成假设、验证假设。
期间也有一些不同的声音：
——准备、生成、判断（加“回头思考”、阶段循环）
——分析情景、想出办法、突破限制、达到目的（迂回进行、无明显顺序）
“状态理论”的产生
20时间世纪60年代，许多认知心理学家以信息加工理论为基础，通过研究认为，人们解决问题的过程类似于计算机的信息加工模式：输入——加工——输出。他们把问题分成三种状态：初始状态（问题解决者认知问题时所处的情境）、中间状态（由初始状态向目标状态转化过程中由操作而引起的种种状态）、目标状态（问题解决者所要达到的结果），从而认为问题解决的任务就是要“找出一种能把初始状态转化为目标状态的操作序列”。
1.3当前我国教育界对问题解决学习的主流看法
前面所说的有关问题解决学习的理论源于其时代背景，都有其一定的道理，不能一概而论。目前国内对于问题解决学习的主流看法大体是——问题解决学习一般要经历以下几个阶段：
积极探索，发现问题/识别问题，明确条件/分析问题，提出假设/推断假设，确定方案/执行方案，验证假设/反思结果，总结提高
2、问题解决教学
2.1问题解决教学的特征
问题解决教学是以教学方法的改革为主的一种教学模式,提倡学生自觉进入问题情境后,以”实践、探索、体验、发展”为中心主动开展探索学习.通过观察、思考、操作和试验等实践活动,去寻找事物或知识间的内在联系,在数学问题的认识和处理过程中接触和掌握数学思想和方法,理解数学的价值,获得一定的数学情感体验,建立学习数学的信心,养成良好的学习态度和习惯.问题解决教学模式下数学学习的突出特征是：个性化、主动性、过程性、活动性和合作性。
2.2问题解决教学的原则
问题解决教学作为一种新型的教学模式，对于培养学生的数学素质、探究意识和实践能力有着很大的作用，问题解决教学必须遵循以下几个基本原则：探索性原则、诱发性原则、适应性原则、民主性原则。
2.3问题解决教学的结构
问题解决教学的研究作为原国家教委师范教育科研课题于1996年7月正式启动，通过四年的研究已经取得了一定的研究成果，其中对于问题解决教学的数学教学结构有了明确的认识。研究认为问题解决教学模式下的数学教学结构分成四个基本环节：（1）具体问题数学化（2）数学材料逻辑化（3）逻辑知识应用化（4）课题学习反思化。研究表明,数学问题解决教学的数学教学结构的四个环节不一定会同时出现,对不同层次的学生或教师的要求也有差别,在教学时不能程式化和片面追求.
二、数学问题解决过程的教学
1、关于课题
基于对目前数学学科课堂教学和学生数学学习的现状的思考,在认真学习了问题解决、问题解决学习和问题解决教学的有关理论和研究成果的基础上，2000年下半年高中新教材实施时，我们开始思考如何加强数学问题解决过程的教学，并于次年申报了课题《加强数学问题解决过程教学，提高学生继续学习能力》。目前课题的研究正在逐渐深入。必须要指出的是本课题的着眼点是“过程”的教学，应该说它与课堂教学是紧密结合的。
2、概念界定
就数学学习和教学而言，结合本课题给出如下几个概念界定：
问题—— 三个基本成分构成 ： 给定 障碍 目标
问题解决过程——从问题的起始状态出发，经过一系列有目的、有指向的认知操作，达到目标状态的过程。
继续学习能力——学生获得发展的基本能力。它包括阅读理解能力、直觉思维能力、合情推理能力、探索能力、数学应用能力以及一般的分析和处理问题的能力
3、数学问题解决过程教学的实施
3.1数学问题解决的过程
根据有关问题解决教学理论的学习和对数学课堂教学实际的分析研究，我们提出数学问题的解决落实在课堂上一般应该经历以下流程：
问题呈现/ 阅读理解 采集信息/ 加工信息.构建思路 / 突破障碍.形成解法/反思解法.理性归纳/灵活运用 思想升华 / 形成能力 .继续学习
当然,并不是说每一个数学问题的解决都必须完整地经历这一流程,也并非问题的解决都有序不紊地遵循各个阶段,在实际教学中我们应该适度把握、灵活运用。
3.2数学问题解决过程中各阶段的教学实施
3.2.1问题的呈现。
数学知识的学习大都可以归结为问题解决的形式，包括数学概念、定理、公式、法则的学习和解题。有时问题的呈现是在不知不觉中进行的，有时则是直接展示的，我们要做的是尽量创设好问题的情境.我们常说的问题情境一般有两层意思(1)一种使学生自由地想象、思考、探索、发现和取得情感体验的气氛（2）数学知识和概念产生和发展的现实背景。问题情境的创设途径和方法很多,一般来说有三种体现：（1）单向诱导情境（2）问题发现情境（3）问题解决情境。情境创设其目的应该是让学生感觉知识的产生和发展是自然的、必然的，问题的解决是实际的、必须的，从而使学生产生数学学习的兴趣、信心和一定的责任感，以便尽可能快地进入到问题的探究状态。
[例1]（概念教学）课题：函数单调性
情境创设：
（1）用描点法简单画出函数 Y=X2 和Y=X3 的图象，
（2）观察他们的图象（或图象的变化趋势），你有什么发现？
评价:描点法画图的过程使学生在无意识的状态下感受了图象的变化趋势,为接下来函数单调性的描述和定义埋下了伏笔；图象的观察与发现看似开放，实际上由于图象本身所提供的信息比较集中，学生很容易将思考最后定格在图象的变化趋势上，事实上只要实现了这一点，问题发现情境的创设便成功了！
[例2]（公式学习）课题：等比数列前n项求和
情境创设 (1)引言问题: 1 + 2 + 4 + 8 + --- + 2 + 2 .
(2)对引言问题的处理：S = 1 + 2 + 4 + 8 + --- + 2 + 2 ①
等式两边同乘以公比2，得：2 S = 2 + 4 + 8 + --- + 2 + 2 + 2 ②
对两式进行比较发现,上下对应的两项完全相同,如果② - ①得到:
S = 2 -1
评价:这里的所谓情境创设其实是以具体的问题的解决为载体,使学生先感受到一种思考和处理问题的方法,以便在下面求等比数列前n项和时能将这种思维方式迁移过去,类比地思考和解决问题。这是比较典型的单向诱导情境创设，在这里更多地体现为一种铺垫的作用。顺便指出，上述处理在老教材中是没有的，新教材中虽然有如此改动，但仍然没有很好地解决教学中一个很大的困惑：为什么会（怎么才能）想到等式两边同乘以公比？？
情境的创设是没有固定的方法的，展示一种现象、一些材料、一个特例、讲述一个故事、一句话的提问，甚至有时是沉默。但是，问题本身的选择和设计必须注意目的性、适应性和新异性，目的性是指针对一定的教学目标；适应性是指要适合大多数学生的认知水平，以保证大多数学生在课堂上处于思维活跃的状态；新异性是指设计、表述或展示应尽可能的生动和新颖。
3.2.2阅读理解、采集信息
在通过恰当的情境呈现问题以后，学生要做的工作阅读理解，其目的是采集信息。这一过程的教学实施必须注意以下几点 ：
（1）留给学生足够的权利
（2学生的观察、收集、思考带有明显的指向（“被污染的观察”即此意）教师不必过分“引导。”
（3）关注学生各种语言的识别、理解、表述和转化的训练，特别是对图象语言和符号语言的认识。如果不解决语言问题，学生的阅读便不可能达到理解的程度。
3.2.3加工信息、构建思路
（1）信息的加工是从问题的目标状态开始的，由目标出发去分析和发现起始状态（条件）和目标间的相关性。
（2）思路一旦形成他是能够解释的，他能帮助学生比较准确地找到问题解决的入口
（3）在思路的确认过程中，对问题解决的中间状态应该有一定的预判，不能过于理想化。
（4）在教学过程中应重视让学生阐明思路在先，动手解决在后。
[例3]已知对于一切实数x ，二次函数f (x) = x2 – 4ax + 2a + 12 (a ? R)的值都是非负的，求关于x的方程 = +2的根的取值范围。(信息加工、思路构建，教学处理略)
3.2.4突破障碍，形成解法
思路的构建往往带有一定的理想化，思路的不同必然会带来问题解决的不同的中间状态，虽然构建思路时对问题解决的过程会有一定的预判，但对中间状态的处理常会碰到一些障碍，有思维上的，也有技能方面的。在教学中如何处理呢？
[例4]已知二次函数f(x)=ax2 +bx ，（a,b为常数且a≠0）满足条件：f(1–x)=f(1+x)且方程f(x)=x有相等实数根。① 求函数 f(x)的解析式 。② 是否存在实数m 、n (m<n),使f(x)的定义域和值域分别为 [ m, n]和[3m, 3n]？如果存在，求出m ,n值，如果不存在，说明理由。
分析：①的思路是很容易形成的，这里叫响f (1–x)=f (1+x)的名字是关键！易求得
f(x) = (–1/2) x2 + x 。我们可以着重来看一下②的处理：
信息：存在性命题，二次函数，定义域[m , n]，值域[ 3m ,3n ]
思路：假设存在,由解析式f(x) = (–1/2) x2 + x和定义域[ m, n]求得值域等于[3m, 3n ]从而可求得m、n的值或发现矛盾否定假设。但是随着问题解决的进行，由f(x) = (–1/2) x 2 + x和定义域[ m, n]求得值域这一中间状态的解决赫然成为学生最大的障碍！
突破：函数是连续的，希望在[ m, n]上是单调的！于是针对二次函数的特点产生分类的想法（关键）。根据动区间[ m, n]与对称轴的相对关系，考虑到m<n，分三种情况讨论解决（略）。
教学中关于障碍的突破应关注以下几点：
（1） 障碍的突破必须是以学生为主的，主动经历问题障碍的突破过程对学生的意义不仅仅是掌握知识与方法，还包括思维的锻炼和情感品质的塑造！
（2） 老师的启发和引导有时是必要的，但必须适度，应该注意启和引的方式。
（3） 回头欣赏
（4） 思路+障碍突破=解法
3.2.5反思解法，理性归纳
在应用一种解法解决问题后，应该使学生养成反思的习惯。反思的内容一般有：
（1） 解法本身——我是如何获得成功的？
（2） 问题解决过程涉及哪些数学思想和方法？
（3） 还有其他办法吗？
（4） 解法的比较和选择（思想方法的应用情景）
例如上例问题解决以后，学生通过反思会进一步感知：存在性命题的一般处理方法——假设 探寻 验证 结论；分类讨论的思想方法；另外，从三种情况的讨论过程中学生会发现有两种情况是不存在的，进而思考既然只有一种情况，能否避免讨论？
观察解析式f(x) = (–1/2 ) x 2 + x = –1/2 (x–1)2 + 1/2 ≤1/2 ,考虑到局部与整体的关系和m<n得 3m<3 n ≤1/2 ,于是 m<n≤ 1/6 ,所以 f(x)在[ m,n] 上是单调递增的，从而有f(m)=3m ,f(n)=3n , （下略）
将两种方法进行比较，学生会发觉第二种方法比较简洁，他对学生观察、发现的能力要求较高，体现了合情推理能力中观察——发现——限定这样一种探索过程；第一种方法看似较繁，却为解决二次函数动区间定对称轴求值问题的通法，学生既体会了分类讨论思想的应用情景（知道为什么要分、怎么分？）又经历了严密的逻辑思维过程，可以说其价值远比第二种解法大。当学生能够脱离问题原型而去理性地思考数学思想和方法时，离问题解决教学的真正目的肯定不远了
3.2.6灵活运用，思想升华
当学生通过问题解决过程的学习，认识了解决问题的方法，理解了其中的数学思想以后，我们会关心学生面临类似问题时能不能运用这些数学思想方法去解决，这一学习过程可以归结为类比——抽象类比——内化。因此，完整的问题解决教学应该突破一定的时限，关注学生的训练和灵活运用，着眼于学生的数学素质和能力的提高，以便学生能够积极自主地面对新的问题展开学习和探索。总的来说，教学中对学生问题解决的训练必须解决好时、量、度、馈四个方面。
4、课题实施阶段性反思
4.1.对课题假设的认识
有一些老师认为课题的中心是研究“问题解决”，这是不准确的。山东省临沂师范学院李红婷教授主持研究的师范教育科研课题“问题解决教学”取得了很丰富的成果，其成功的研究为我们提供了深厚的理论依据和实践指导。 本课题在假设中提出的加强数学问题解决过程教学的做法是：问题呈现——阅读理解、采集信心——加工信心、构建思路——突破障碍、形成解法——反思解法、理性归纳——能力雏建、思想升华，显然 ，本课题的研究定位在了如何加强问题解决“过程”的教学上。
4.2关于课堂操作的模式化
在课题研究方案中我们提到：许多数学概念或定理法则的出现都或多或少的具有问题解决的形式，他使得我们的模式操作成为可能。但是，并不是每一处内容、每一节课的教学都能或都要严格的按照课题假设中的流程一步不少的进行，毕竟教材内容的丰富多样、问题情景的不同、师生状况的差异等等决定了课堂教学是动态的和多姿多彩的，绝对模式化的做法是不可取的。我们最应该关注的是如何体现课题的理念，那就是加强学生自主性前提下的问题解决“过程”教学，期望通过过程的体验促使学生形成一些诸如阅读理解、分析和处理信息、文字语言表达、如何获取新知识等等有助于学生继续学习的基本能力。
4.3关于学生变化的预期和检测手段
部分参加试验的教师在交流时提到，一年来的课堂教学都在极力按照课题的要求去做，但有相当多的学生并没有给我们带来惊喜，他们的数学学习状态浑沌依然，学习成绩与试验前的情况无明显的变化。这种与预期目标的背离现象一度使得部分老师怀疑起课题的假设。其实，怀疑本身也是对课题精神的一种反思，他是课题研究中一种可贵的不可缺少的学术态度。针对现实状况与目标预期的背离现象，我们应该反思一些问题 ，如课题假设是否完善、对课题精神的理解的透彻度、检测评价手段是否科学合理等等。李红婷教授在“问题解决教学”的研究过程中最最重视的是学生数学学习的感受，学生数学学习的变化首先是他们感觉在变——数学也很生动、学数学有用、数学问题有魅力、善于思考和联想就能学会数学、数学让我学会了思考、老师时刻在鼓励着我、我能学好数学。我想这些变化都意味着学生在进步而进步不仅仅总是会短时地体现在考试成绩上 ，所以我们应该设制科学的检测手段，尽量从知识水平 、情感态度、学习习惯、数学素质等等方面去观察学生，发现学生的进步，以便很好地论证我们的研究，调整我们的做法。
4.4关于过程教学和课堂教学任务
本课题操作方案中特别强调学生应该亲历问题障碍的突破，在具体的课堂教学中往往会出现一些与传统的课堂要求相冲突的现象，其中最突出的是教学过程的展开与课堂教学“任务”的完成这一对矛盾。问题障碍的自主突破包含着对学生思维能力的锻炼、学习信心的培育、学习精神的塑造等，是以学生发展为本的现代教育教学理念的体现，这应该是我们的课堂教学中最大的任务，从这个角度来说，本课题淡化了传统的课堂教学评价的某些观点。我们不认为有问题没有解决完的课一定是差课，也不会因为来不及布置作业而否定一堂好课。“不一味求完整，但求一点特色”可看作是本课题展开研究的一条基本原则。
[结束语]：我们努力地想把学生的数学学习解释为问题——习得——问题这样一个循环往复的过程，在这一过程中，问题是载体，学生是主体。我们希望通过加强问题解决过程的各个阶段的教学，切实提高学生分析问题、解决问题的能力，提高学生的数学素养。也许我们的做法会有很多的欠缺，我们将通过不断的学习、思考和实践去完善。
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