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| 万有引力教学中应理清的十组概念
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作者： 山东省高青二中 / 陈斌
发表时间： 2005-11-5 文章出处： 全国中小学教师继续教育网
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万有引力定律揭示了自然界中物体间普遍存在的一种基本相互作用规律和行星运动的本质原因．从此把地上的运动和天上的运动统一了起来．万有引力定律的具体应用有：根据其规律发现新的天体，测天体质量，计算天体密度，研究天体的运动规律，同时也是现代空间技术的理论基础。这一部分内容是高考的热点，也是同学们在学习感觉到较难的地方。同学们在学习这一部分内容时普遍反映公式变化较多 , 各种关系复杂。本文旨在通过复习 , 进一步理清一些相近或相关的概念 , 让同学们真正理清这些概念 , 更好地掌握这一部分内容。
一、两种力 ---- 重力和万有引力、
重力的定义是由于地球的吸引而使物体受到的力，由此可以知道，重力并不等于万有引力。但它们之间有什么关系呢？
由于地球的自转，地面上的所有物体跟随地球一起做匀速圆周运动，其旋转中心是地轴上的某点 O ′ ，如图 1 所示。旋转时所需的向心力是万有引力在旋转面内的一个分力 F ′ ， F ′= mω 2 R cos θ ，式中 m 为地面上某物体的质量， ω 为地球的自转角速度， R 是地球半径， θ 为物体所处的纬度。万有引力 F=G 
式中 M 为地球质量。
重力 G 应该是万有引力 F 的另一个分力，方向并不指向地心，由于 F ′ 很小，所以 G 的数值非常接近 F 的数值，在粗略计算时可以不作区别。
物体一旦离开地球表面而绕着地心做匀速圆周运动时，地球的自转是不影响物体的受力情况的。此时的重力就是万有引力。
图１
二、两个半径 ----- 天体半径和卫星轨道半径
在中学物理中通常把天体看成一个球体，天体半径就是球的半径，反映了天体的大小．卫星的轨道半径是天体的卫星绕天体做圆周运动的圆的半径．一般情况下，天体卫星的轨道半径总大于该天体的半径．当卫星贴近天体表面运行时，可近似认为轨道半径等于天体半径。
【例 1 】一宇宙飞船到某星球上探测，宇航员想知道该星球的密度，而身边只有一块手表，他该怎么办呢？
【解析】当宇宙飞船绕着星球运行时，可将其视为该星球的一颗卫星，根据关系式  ( 这里 r 是宇宙飞船的轨道半径 ) ，而
因此，要想求得星球的密度，必须使飞船的轨道半径 r=R ，才能得出ρ =  。所以宇航员只要让飞船贴近该天体的表面绕行一周，用手表测出周期，即可求得星球的密度。
三、两个周期 ----- 自转周期和公转周期
自转周期是天体绕自身某轴线转动一周的时间。公转周期是卫星绕中心天体做圆周运动一周的时间．一般情况下天体的自转周期和公转周期是不等的，如地球自转周期为 24 小时，公转周期为 365 天．在应用中要注意区别。
【例 2 】已知大阳光射到地球需时 t=500s ，地球同步卫星的高度 h=3 。 6 × 10 4 km 。试估算太阳和地球的质量．
【解析】设太阳质量为 M 1 。地球质量为 M 2 。地球同步卫星质量为 m ．由地球绕太阳做圆周运动： 
①式中 r=v.t ， v 为光速．再根据地球同步卫星绕地球做圆周运动得：
①、②代入数据即可求得 M 1 、 M 2 ．注意 T 、 T ' 分别是地球的公转周期和自转周期．当然，也有的天体自转周期和公转周期相同，如月球的自转周期等于它绕地球的公转周期，故月球总是以同一面朝向地球。
四、两类运行 ----- 稳定运行和变轨运行
卫星绕天体稳定运行时万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力。由  =  , 得 v=  。轨道半径 r 越大，卫星的速度越小．当卫星由于某种原因速度 v 突然改变时， F 和  不再相等，因此就不能再根据 v=  来确定 r 的大小。当 F ＞  时，卫星做近心运动；当 F ＜  时，卫星做离心运动。
【例 3 】  如图 2 所示， a 、 b 、 c 是在地球大气层外圆形轨道上运行的 3 颗人造卫星，下列说法正确的是 []
A ． b 、 c 的线速度大小相等，且大于 a 的线速度
B ． b 、 c 的向心加速度大小相等，且大于 a 的向心加速度
C ． c 加速可追上同一轨道上的 b ， b 减速可等候同一轨道上的 c
D ． a 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大
【解析】因为 b 、 c 在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等。又 b 、 c 轨道半径大于 a 的轨道半径，由 v=  知， v  =v  ＜ v  ，故 A 选项错；由加速度 a=  ，可知 a  =a  ＜ a  ，故 B 选项错。
当 c 加速时， c 受到的万有引力 F ＜  ，故它将偏离原轨道，做离心运动；当 b 减速时， B 受到的万有引力 F ＞  ，它将偏离原轨道，而离圆心越来越近。所以无论如何 c 也追不上 b ， b 也等不到 c ，故
Ｃ选项错。对这一选项，不能用 v=  来分析 b 、 c 轨道半径的变化情况。
对 a 卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视作稳定运行，由 v=  知， r 减小时 v 逐渐增大，故 D 选项正确。
五、同步卫星和一般卫星  
地球同步卫星和其它地球卫星虽然都绕地球运行，但它们之间却有着明显的区别。
地球同步卫星是相对于地面静止，和地球自转具有相同周期的卫星，它的周期 T=24 小时．由于卫星受到的地球引力指向地心，在地球引力的作用下同步卫星不可能停留在与赤道平面平行的其它平面，它一定位于赤道的正上方．如我国发射的电视转播卫星，不是定点在北京上空，或其它什么地点的上空，而是停在位于赤道的印度尼西亚上空．根据牛顿第二定律
可见同步卫星离地心的距离是一定的，代入数据得 r=4 。 24 × 10 4 km ，且线速度 v=r ω  =3 。 08 × 10  m ／ s 也是一定的，其绕行方向与地球自转同向．而一般卫星的周期、线速度等可比同步卫星大，也可比同步卫星小，但线速度最大值为 v=7 ． 9km ／ s ，最小周期大约 85min ，轨道也可是任意的，轨道平面一定通过地球球心。
【例 4 】 同步卫星离地距离 r ，运行速率 v 1 ，加速度 a 1 ，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为 a 2 ，第一宇宙速度为 v 2 ，地球半径为 R ，则 []
【解析】 同步卫星和赤道上的物体的角速度相等，据 a=r ω  知 a 1 ／ a 2 =r ／ R ．第一宇宙速度是卫星贴近地面绕行的速度，同步卫星也属于一种卫星，故由 v=  ， 所以  满足本题应选 A 、 D 。
六、两种速度―－环绕速度和发射速度
近地人造卫星的环绕速度 v=  =  =7.9km/s, 通常称为第一宇宙速度，也是人造卫星的最小发射速度。
不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度 v=  ，其大小随半径的增大而减小。但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到距地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大。
七、两种加速度――卫星绕地球运动的向心加速度和物体随地球自转的向心加速度。
卫星绕地球运动的向心力完全由地球对卫星的引力提供，而放在地面上的物体随地球自转所需的向心力是由万有引力的一个分力提供的。
卫星绕地球运动的向心加速度 a  =  , 其中 M 为地球的质量 ,r 为卫星与地心间的距离 ; 物体随地球自转的向心加速度 a  =  , 其中 T 为地球自转周期 ,R 为地球半径。 a  比近地卫星绕地球运动的向心加速度 a  =  要小得多。
八、同步卫星运动与赤道上物体随地球自转运动
同步卫星指定位于赤道上空一定高度上环绕地球做圆周运动的航天器，其运动周期和角速度都等于地球自转周期和角速度，所以相对地球静止不动，与地球运动同步。地球赤道上物体自转运动虽与同步卫星具有相同周期，但本质的区别仍是向心力的提供来源，同步卫星受到的万有引力全部提供其向心力，故同步轨道半径ｒ ≈6 Ｒ，ｖ＝ 3 。 1 ｋｍ／ｓ，同步轨道高度处的重力加速度ｇ 同 ＝ａ 同 ≈0.25 ｍ／ｓ ２ 。物物体可在地球表面不同纬度处随地球自转运动，但卫星同步轨道只能在赤道平面内确定的高度处。假如卫星处在如图 2 所示的轨道上，将因向心力没有指向地球中心而使万有引力产生 “ 重力 ” ，最终将使卫星移动在赤道平面内运动。
图３
放在赤道上的物体随地球自转时受两个力的作用，一个是地球对它的万有引力，另一个是地面对物体的支持力．这两个力的合力提供了物体做圆周运动的向心力，即
这里 N=mg ．物体的向心加速度 a=R0 ω 2 ≈ 0.034m ／ s 2 ，远小于地面上物体的重力加速度 g=9 。 8m ／ s 2 ，故在近似计算中可忽略自转影响，而认为地面上物体的重力和该物体受到的万有引力大小相等。
绕天体运行的卫星，只受一个力即万有引力，卫星上物体处于完全失重状态，故 F=mg ' =ma ．卫星的向心加速度 a 等于卫星所在处的重力加速度 g ' ，对近地卫星来讲 g ' =g=9 。 8m ／ s 2 。
【例 5 】 地球赤道上的物体重力加速度为 g ，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为 a ，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的 [ ]
【解析】赤道上的物体随地球自转时
其中 N=mg 。要使赤道上的物体“飘”起来，即变为近地卫星，则应 N=0 ，于是
十、连续物和近地卫星
连续物是指和天体连在一起的物体，其角速度和天体相同，其线速  即 v 与 r 的平方根成反比。
【例 6 】 根据观察，在土星外层有一个环，为了判断环是土星的连续物还是小卫星群，可测出环中各层的线速度 v 与该层到土星中心的距离 R 之间关系．下列判断正确的是： []
A ．若 v 与 R 成正比，则环是连续物
B ．若 v 2 与 R 成正比，则环是小卫星群
C ．若 v 与 R 成反比，则环是连续物
D ．若 v 2 与 R 成反比，则环是小卫星群
【解析】由上面分析知，连续物 v 与 R 成正比，小卫星群 v 2 与 R 成反比，故选 A 、 D 。
综上所述的十组易混淆的概念，同学们在学习过程中可采用“比较法”进一步搞清，掌握好这一部分内容。
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